Fx ตัวเลือก และ โครงสร้าง ผลิตภัณฑ์ รูปแบบไฟล์ Pdf

ตัวเลือก FX และผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้าง 1 ตัวเลือก FX และผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้าง Uweeksup 7 เมษายน 2549 3 สารบัญ 0 คำนำจุดเด่นของหนังสือเล่มนี้ผู้อ่านเกี่ยวกับผู้เขียนข้อคิดเห็นตัวเลือกการแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศการเดินทางผ่านประวัติความเป็นมาของตัวเลือกประเด็นทางเทคนิคสำหรับตัวเลือกวานิลลา ความผันผวนของเดลต้าในแง่ของความผันผวนของเดลต้าความผันผวนของประวัติศาสตร์ความผันผวนของประวัติศาสตร์ประวัติศาสตร์ความผันผวนของค่าความผันผวนของประวัติศาสตร์ความผันผวนของค่าความเป็นไปได้ที่ความผันผวนของค่าความผันผวนของอัตราแลกเปลี่ยนความผันผวนของรอยยิ้ม ความผันผวนของความผันผวนของโคนความผันผวนของโคนความผันผวนของโคนความผันผวนของโคนความผันผวนของโคนความผันผวนของโคน 4 การออกกำลังกายแบบ 4 สโตรคกลยุทธ์พื้นฐานที่มีวานิลลาตัวเลือกการโทรและการกระจายความเสี่ยงการกลับรายการความเสี่ยงการกลับกันการคลี่คลายคร่อมเบรกผีเสื้อนางนวลการออกกำลังกายครั้งแรก G Eneter Exotics Barrier Options ตัวเลือกดิจิตอลตัวเลือก Touch และ Rebates Compound and Installment ตัวเลือกการมองเห็นตัวเลือกเอเชียตัวเลือกการเริ่มต้นตัวเลือกวงล้อและ Cliquet ตัวเลือกการใช้พลังงานตัวเลือก Quanto การออกกำลังกาย Second Generation Exotics Coraders ตัวเลือกอุปสรรค Exotic ตัวเลือกการชำระเงินในภายหลัง Step up and Step down Options Spread and ตัวเลือกการแลกเปลี่ยนตัวเลือกที่ดีที่สุดและแย่ที่สุดของตัวเลือกตัวเลือกและฟอร์เวิร์ดต่อค่าความแปรปรวนเฉลี่ยฮาร์มอนิกและความผันผวนของการแลกเปลี่ยนแบบฝึกหัดผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้างส่งต่อผลิตภัณฑ์ Outright Forward มีส่วนร่วมไปข้างหน้า Fade-In Forward ส่งออกไปข้างหน้าฉลามส่งต่อ Fader Shark Forward 5 ตัวเลือก FX และ Structured Products Butterfly Forward Range Forward Range การสะสมล่วงหน้า Forward บูมเมอแรง Forward การตัดจำหน่าย Forward การต่ออายุอัตโนมัติ Forward Double Shark Forward Forward ผู้เลือกเริ่มต้น Forward Free Style Forward เพิ่มขึ้น SpotForward Time Option การออกกำลังกาย Series of Strategies Shark Forward Series Collar Extra Series การออกกำลังกายเงินฝากและเงินกู้ Dual การฝากเงินสกุลเงินฝากผลการดำเนินงานเงินฝากที่เชื่อมโยงฝากเงินฝากเงินฝากเงินฝากธนาคารเงินฝาก Turbo Turbo ฝากทาวเวอร์ฝากเงินแบบฝึกหัดอัตราดอกเบี้ยและข้ามสกุลเงิน Swaps Swap ข้ามสกุลเงิน Hanseatic Swap แลกเปลี่ยนเทอร์โบแลกเปลี่ยนเงินตราข้ามบัฟเฟอร์ Swap สลับ Swip Swap Swap แลกเปลี่ยน Swap Double-No-Touch เชื่อมโยง Swap Range Reset Swap Basket Spread Swap แบบฝึกหัดการมีส่วนร่วมหมายเหตุการมีส่วนร่วมในทองคำการเชื่อมโยงกับตะกร้าหมายเหตุผู้ออกบัตร Swap การเคลื่อนย้ายการแข่งขัน Turbo Spot Unlimited 6 6 Wystup 2.6 ผลิตภัณฑ์ Hybrid FX เรื่องที่เป็นประโยชน์กฎการค้าของ Thumb ค่าใช้จ่ายในการสังเกตการณ์ Vanna และ Volga การตรวจสอบความสอดคล้องคำย่อสำหรับ Exotics First Generation ความผันผวนของปัจจัยการปรับตัวสำหรับการกลับรายการความเสี่ยง , Butterflies และ Barrier ราคาตามทฤษฎีราคาตัวเลือกราคา Barrier Double ราคาตัวเลือก Double-No-Touch ตัวเลือกราคาตัวเลือกสไตล์ยุโรปตัวเลือก No-Touch ค่าใช้จ่ายในการซื้อขายและความเกี่ยวข้องกับราคาตลาดของตัวเลือก Onetouch ตัวอย่างการใช้งานเพิ่มเติมการเสนอราคาถาม Spr eads One Touch Spreads วานิลลากระจายสเปรดชีทสำหรับ Exotics รุ่นแรกราคาเสนอราคาต่ำสุดถาม Spread ราคาเสนอถามราคาการชำระบัญชีแบบชำระเงินรูปแบบ Black Scholes สำหรับตัวเลือกการชำระบัญชีสำหรับการชำระเงินสดกับการดำเนินการจัดส่งแบบรอการตัดบัญชีในต้นทุนค่าระวางเรือ การวิเคราะห์ความผิดพลาดของ EUR-USD ข้อสรุป 7 ตัวเลือก FX และผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้าง 7 4 การป้องกันความเสี่ยงตาม IAS การแนะนำเครื่องมือทางการเงินภาพรวมทั่วไปคำจำกัดความทั่วไปสินทรัพย์ทางการเงินหนี้สินทางการเงินการหักล้างของสินทรัพย์และหนี้สินทางการเงินตราสารทุนตราสารทางการเงินที่มีข้อบ่งชี้ ตราสารอนุพันธ์ตราสารอนุพันธ์การจำแนกตราสารอนุพันธ์การประเมินทางการเงินของตราสารทางการเงินการรับรู้ครั้งแรกการวัดครั้งแรกการวัดผลที่ตามมาการหักล้างความเสี่ยงการบัญชีความเสี่ยงประเภทของ Hedges ความต้องการขั้นพื้นฐานการหยุดยั้งการบัญชีเพื่อป้องกันความเสี่ยงสำหรับ Testi ประสิทธิผลในการป้องกันความเสี่ยงมูลค่ายุติธรรมการป้องกันความเสี่ยงจากกระแสเงินสดการทดสอบความเสี่ยงเพื่อประสิทธิผล - กรณีศึกษาการคำนวณอัตราแลกเปลี่ยนแบบพลัสต่อพลัสการคำนวณการคำนวณมูลค่า Forward Plus ของการคำนวณหาผลตอบแทนจากการคำนวณทางบัญชี ผลการวัดความแปรปรวนของผลต่าง - การทดสอบความถนัดในการวิเคราะห์การถดถอย - การทดสอบความมีประสิทธิผลผลการทดสอบย้อนหลังเพื่อประสิทธิผลบทสรุปแหล่งที่มาที่เกี่ยวข้องสำหรับการปฏิบัติตามมาตรฐานการบัญชี 8 8 Wystup 5 ตลาดแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศผ่านคำแถลงตลาดโดย GFI Group (Fenics), 25 การให้สัมภาษณ์กับ Bloomberg, 12 ตุลาคมสัมภาษณ์ Murex, 8 พฤศจิกายนสัมภาษณ์ SuperDerivatives, 17 ตุลาคมบทสัมภาษณ์กับ Lucht Probst Associates, 27 กุมภาพันธ์ความต้องการซอฟต์แวร์และระบบ Fenics ตำแหน่งการรักษาราคาโดยการประมวลผลคำแถลงสิทธิ์การซื้อขายและการขาย Prop การบริหารการเงินของ บริษัท ต่างประเทศเกี่ยวข้องกับการจัดการกับกระแสเงินสดในสกุลเงินต่างประเทศการบริหารเงินของ บริษัท ข้ามชาติ ดังนั้นการให้บริการทางธรรมชาติของธนาคารเพื่อการลงทุนประกอบด้วยตลาดเงินและผลิตภัณฑ์แลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ หนังสือเล่มนี้อธิบายถึงผลิตภัณฑ์ยอดนิยมและกลยุทธ์โดยมุ่งเน้นที่ทุกอย่างนอกเหนือจากตัวเลือกวานิลลา อธิบายถึงตัวเลือก FX โครงสร้างทั่วไปและโซลูชันที่ปรับเปลี่ยนได้ในตัวอย่างโดยมุ่งเน้นเป็นพิเศษสำหรับแอพพลิเคชันที่มีมุมมองจากผู้ค้าและการขายรวมทั้งจากมุมมองของลูกค้าองค์กร มันมีข้อตกลงซื้อขายจริงกับแรงจูงใจที่สอดคล้องกันอธิบายว่าทำไมโครงสร้างมีการซื้อขาย วิธีนี้ทำให้ผู้อ่านรู้สึกถึงวิธีการสร้างโครงสร้างใหม่เพื่อตอบสนองความต้องการของลูกค้า แบบฝึกหัดมีขึ้นเพื่อฝึกฝนเนื้อหา หลายคนยากที่จะแก้ปัญหาและสามารถเป็นแรงจูงใจในการวิจัยและทดสอบต่อไป แต่จะมีการเผยแพร่บนหน้าเว็บของหนังสือเล่มนี้ 0.2 The Readership Prerequisite คือความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับตลาดอัตราแลกเปลี่ยนเช่นเดียวกับตัวอย่างจาก Book Foreign Exchange Primer โดย Shami Shamah, Wiley 2003 ดูที่ 90. ผู้อ่านเป้าหมายคือนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาและคณะวิศวกรรมศาสตร์หลักสูตรซึ่งสามารถใช้หนังสือเล่มนี้เป็นตำราเรียนสำหรับหลักสูตรที่มีชื่อว่าผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้างหรือตัวเลือกสกุลเงินที่แปลกใหม่ 9 10 10 Trader, Trainee Structurers, Product Developers, Sales and Quants ที่มีความสนใจในสายผลิตภัณฑ์ FX สำหรับพวกเขามันสามารถทำหน้าที่เป็นแหล่งของความคิดและเป็นคู่มืออ้างอิง เหรัญญิกของ บริษัท เอกชนที่สนใจในการจัดการหนังสือของพวกเขา ด้วยหนังสือเล่มนี้ที่มือพวกเขาสามารถจัดโครงสร้างโซลูชันของตนเองได้ ผู้อ่านสนใจมากขึ้นในด้านข้อมูลเชิงปริมาณและการสร้างแบบจำลองจะแนะนำให้อ่านความเสี่ยงจากอัตราแลกเปลี่ยนโดย J. Hakala และ U. Wystup, Risk Publications, London, 2002 ดูที่ 50 หนังสือเล่มนี้อธิบายถึงตัวเลือก FX ที่แปลกใหม่โดยเน้นที่พื้นฐาน โมเดลและคณิตศาสตร์ แต่ไม่มีโครงสร้างหรือลูกค้าองค์กรหรือนักลงทุน เกี่ยวกับผู้เขียนภาพที่ 1: Uweeksup, ศาสตราจารย์ด้านการคลังเชิงปริมาณที่ HfB Business School of Finance and Management ในแฟรงค์เฟิร์ตประเทศเยอรมนี Uweeksup ยังเป็น CEO ของ MathFinance AG เครือข่ายทั่วโลกของ quants เชี่ยวชาญในการคลังเชิงปริมาณคำแนะนำตัวเลือก Exotic และ Front Office การผลิตซอฟต์แวร์ ก่อนหน้านี้เขาเป็นวิศวกรด้านการเงินและผู้บริหารในทีมการซื้อขาย FX Options Trading ที่ Commerzbank ก่อนที่เขาทำงานให้กับ Deutsche Bank, Citibank, UBS และ Sal Oppenheim jr amp Cie เขาเป็นผู้ก่อตั้งและผู้จัดการเว็บไซต์ MathFinance. de และ MathFinance Newsletter Uwe จบปริญญาเอกด้านการเงินทางคณิตศาสตร์จาก Carnegie Mellon University เขายังได้บรรยายเรื่องการเงินทางคณิตศาสตร์ของ Goethe University Frankfurt จัดสัมมนาด้านแฟรงค์เฟิร์ต MathFinance Colloquium และเป็นผู้อำนวยการสร้างของสถาบันคณิตศาสตร์แฟรงค์เฟิร์ต เขาได้ให้การสัมมนาหลายเรื่องเกี่ยวกับตัวเลือกที่แปลกใหม่การคำนวณทางการเงินและการสร้างแบบจำลองความผันผวน ความชำนาญเฉพาะด้านของเขาคือแง่มุมเชิงปริมาณและการออกแบบผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้างของตลาดแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ 11 FX และ Structured Products 11 ต่างประเทศ เขาได้ตีพิมพ์หนังสือเกี่ยวกับความเสี่ยงจากอัตราแลกเปลี่ยนและบทความเรื่อง Finance and Stochastics และ Journal of Derivatives Uwe ได้มอบงานนำเสนอมากมายให้กับทั้งมหาวิทยาลัยและธนาคารทั่วโลก ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประวัติส่วนตัวของเขาและรายละเอียดของสิ่งตีพิมพ์ได้ที่ 0.4 Acknowledgments ฉันอยากจะขอบคุณอดีตเพื่อนร่วมงานของฉันที่ชั้นการซื้อขายส่วนใหญ่ของ Gustave Rieunier, Behnouch Mostachfi, Noel Speake, Roman Stauss, Tamaacutes Korchmaacuteros, Michael Braun, Andreas Weber, Tino Senge, Juumlrgen Hakala และเพื่อนร่วมงานและผู้ร่วมเขียนของฉัน Christoph Becker, Susanne Griebsch, Christoph Kuumlhn, Sebastian Krug, Marion Linck, Wolfgang Schmidt และ Robert Tompkins คริส Swain, Rachael Wilkie และอื่น ๆ อีกมากมายของ Wiley สิ่งพิมพ์สมควรได้รับความเคารพขณะที่พวกเขากำลังรับมือกับความเร็วของฉันค่อนข้างช้าในการกรอกหนังสือเล่มนี้ Nicole van de Locht และ Choon Peng Toh ได้รับเหรียญสำหรับการอ่านหลักฐานอย่างละเอียด 13 บทที่ 1 ตัวเลือกการแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศ FX Structured Products เป็นชุดค่าผสมแบบ FX ที่รวมกันซึ่งรวมถึงตัวเลือกวานิลลาและแปลกใหม่ เราขอแนะนำหนังสือเล่มนี้โดย Shamah 90 เพื่อเป็นแหล่งเรียนรู้เกี่ยวกับตลาดเอฟเอ็กซ์โดยมุ่งเน้นไปที่ข้อตกลงด้านตลาดสัญญาซื้อขายล่วงหน้าสัญญาซื้อขายล่วงหน้าสัญญาซื้อขายล่วงหน้าสัญญาซื้อขายล่วงหน้าและสัญญาแลกเปลี่ยนเงินตราต่างประเทศตัวเลือกวานิลลา สำหรับการกำหนดราคาและการสร้างโมเดล FX Option แปลกใหม่เราขอแนะนำ Hakala andkupup 50 หรือ Lipton 71 เป็นหนังสือที่มีประโยชน์สำหรับหนังสือเล่มนี้ ตลาดสำหรับผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้างถูก จำกัด ไว้สำหรับตลาดส่วนผสมที่จำเป็น ดังนั้นโดยปกติจะมีผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้างเป็นส่วนใหญ่ซื้อขายสกุลเงินคู่ที่สามารถเกิดขึ้นระหว่าง USD, JPY, EUR, CHF, GBP, CAD และ AUD ในบทนี้เราเริ่มต้นด้วยประวัติโดยย่อของตัวเลือกตามด้วยส่วนทางเทคนิคเกี่ยวกับตัวเลือกวานิลลาและความผันผวนและจัดการกับชุดค่าผสมเชิงเส้นที่ใช้โดยทั่วไปของตัวเลือกวานิลลา จากนั้นเราจะแสดงส่วนผสมที่สำคัญที่สุดสำหรับผลิตภัณฑ์ที่มีการจัดโครงสร้างแบบ FX: เครื่อง Exotics รุ่นแรกและรุ่นที่สอง 1.1 การเดินทางผ่านประวัติศาสตร์ตัวเลือกตัวเลือกแรกและฟิวเจอร์สถูกซื้อขายกันในสมัยกรีกโบราณเมื่อมะกอกถูกขายก่อนที่มันจะสุก หลังจากนั้นตลาดก็มีการพัฒนาไปในลักษณะดังต่อไปนี้ ศตวรรษที่ 16 ตั้งแต่ศตวรรษที่ 15 ดอกทิวลิปซึ่งชอบความแปลกใหม่ปรากฏตัวขึ้นในตุรกี หัวหน้าสวนการแพทย์ของราชวงศ์ในกรุงเวียนนาประเทศออสเตรียเป็นคนแรกที่ปลูกฝังให้ดอกทิวลิปแบบตุรกีประสบความสำเร็จในยุโรป เมื่อเขาหนีไปฮอลแลนด์เพราะการประหัตประหารทางศาสนาเขาก็เอาหลอดไฟไป ในฐานะหัวหน้าสวนพฤกษศาสตร์คนใหม่ของ Leiden ประเทศเนเธอร์แลนด์เขาได้ปลูกฝังสายพันธุ์ใหม่หลายสาย มันมาจากสวนเหล่านี้ที่พ่อค้าตัวฉกาจขโมยหลอดไฟเพื่อทำเป็นเชิงพาณิชย์เพราะดอกทิวลิปเป็นสัญลักษณ์สถานะที่ดี ศตวรรษที่ 17 ฟิวเจอร์สครั้งแรกในดอกทิวลิปมีการซื้อขายในฐานะของ 1634 คนสามารถ 13 14 14kupup ซื้อสายพันธุ์ดอกทิวลิปพิเศษโดยน้ำหนักของหลอดไฟของพวกเขาสำหรับหลอดไฟค่าเดียวกันได้รับเลือกให้เป็นทอง พร้อมกับการซื้อขายตามปกตินักเก็งกำไรก็เข้าสู่ตลาดและราคาก็ปรับตัวสูงขึ้น หลอดไฟแห่งความเครียด Semper Octavian มีมูลค่าสองเกวียนบรรทุกข้าวสาลีน้ำหนักสี่ไรย์วัวสี่ตัวหมูแปดตัวแกะสิบสองตัวเครื่องดื่มเหล้าองุ่นสองถังเบียร์สี่บาร์เรลสองบาร์เรลเนยชีส 1,000 ปอนด์ , เตียงหนึ่งแต่งงานกับผ้าลินินและ wagon ขนาดใหญ่หนึ่ง คนออกจากครอบครัวของพวกเขาขายข้าวของทั้งหมดของพวกเขาและแม้แต่ยืมเงินเพื่อเป็นพ่อค้าทิวลิป เมื่อปีพ. ศ. พ. ศ. 1637 ตลาดเกิดความเสี่ยงนี้คาดว่าผู้ค้าและเอกชนจะล้มละลาย รัฐบาลห้ามการเก็งกำไรในช่วงนี้กลายเป็น Tulipmania ที่มีชื่อเสียง ศตวรรษที่ 18 ในปี ค. ศ. 1728 บริษัท รอยัลเวสท์อินเดียนและกินีซึ่งเป็นผู้ผูกขาดในการซื้อขายกับหมู่เกาะแคริบเบียนและชายฝั่งแอฟริกันได้ออกหุ้นครั้งแรก เป็นทางเลือกในการซื้อเกาะฝรั่งเศสของ Ste Croix ซึ่งวางแผนปลูกน้ำตาลไว้ โครงการได้รับการตระหนักถึงในปีพ. ศ. 2276 และมีการออกหุ้นในกระดาษหุ้นพร้อมกับหุ้นคนซื้อหุ้นของเกาะและสิ่งของมีค่ารวมทั้งสิทธิและสิทธิของ บริษัท ศตวรรษที่ 19 ในปี พ. ศ. 2391 นักธุรกิจ 82 คนได้ก่อตั้งคณะกรรมการการค้าชิคาโก (CBOT) วันนี้เป็นตลาดฟิวเจอร์สที่ใหญ่และเก่าแก่ที่สุดในโลก เอกสารที่เป็นลายลักษณ์อักษรส่วนใหญ่สูญหายไปในกองไฟที่ยิ่งใหญ่ของปีพ. ศ. 2414 อย่างไรก็ดีเชื่อกันว่าสัญญาซื้อขายล่วงหน้าแบบมาตรฐานครั้งแรกมีการซื้อขายกันในขณะที่ CBOT ซื้อขายสัญญาซื้อขายล่วงหน้าและสัญญาล่วงหน้าหลายฉบับไม่เพียง แต่พันธบัตร T และพันธบัตรตั๋วเงิน ในปี พ. ศ. 2413 ได้มีการก่อตั้ง New York Cotton Exchange ขึ้น ในปี ค. ศ. 1880 ได้มีการนำมาตรฐานทองคำมาใช้ ศตวรรษที่ 20 ในปีพ. ศ. 2457 มาตรฐานทองคำถูกยกเลิกเพราะสงคราม ในปีพ. ศ. 2462 ชิคาโกเอ็กซ์เชนจ์เอ็กซ์เชคซึ่งดูแลการซื้อขายสินค้าเกษตรได้ถูกเปลี่ยนชื่อเป็น Chicago Mercantile Exchange วันนี้เป็นตลาดฟิวเจอร์สที่สำคัญที่สุดสำหรับ Eurodollar เงินตราต่างประเทศและปศุสัตว์ ในปีพ. ศ. 2487 ระบบเบรตตันวูดส์ถูกนำมาใช้เพื่อพยายามรักษาเสถียรภาพของระบบเงินตรา ในปีพ. ศ. 2513 ระบบเบรตตันวูดส์ถูกยกเลิกด้วยเหตุผลหลายประการ 2514 ในสมิ ธ โซเนียนตกลงอัตราแลกเปลี่ยนคงที่แนะนำ ในปีพ. ศ. 2515 ตลาดการเงินระหว่างประเทศ (IMM) ได้ทำการซื้อขายฟิวเจอร์สบนเหรียญเงินตราและโลหะมีค่า 15 ตัวเลือก FX และผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้าง 15 ศตวรรษที่ 21 ในปีพ. ศ. 2516 CBOE (Chicago Board of Exchange) ได้ซื้อสัญญาซื้อขายล่วงหน้าเป็นครั้งแรกเมื่อ 4 ปีที่แล้ว ข้อตกลงของสมิ ธ โซเนียนถูกปล่อยปละละเลยสกุลเงินตามการจัดการลอยตัว ในปี 2524 CBOT ได้ขายอัตราดอกเบี้ยในอนาคตเป็นครั้งแรกในอนาคตโดยไม่มีสินทรัพย์อ้างอิงที่แท้จริง ในปี 2521 ตลาดหุ้นดัตช์มีการซื้อขายสัญญาอนุพันธ์ด้านการเงินมาตรฐานฉบับแรก ในปีพ. ศ. 2522 ระบบสกุลเงินของยุโรปถูกนำมาใช้และเปิดตัว European Currency Unit (ECU) ในปีพ. ศ. 2534 สนธิสัญญามาสทริชต์ได้ลงนามในสนธิสัญญาร่วมกับนโยบายทางเศรษฐกิจในยุโรป ในปี 2542 ยูโรได้รับการแนะนำ แต่ประเทศยังคงใช้เงินสกุลเงินเก่าของตนในขณะที่อัตราแลกเปลี่ยนถูกเก็บไว้คงที่ ในปี 2545 ยูโรได้รับการแนะนำให้เป็นเงินใหม่ในรูปของเงินสด 1.2 ปัญหาด้านเทคนิคสำหรับตัวเลือกวานิลลาเราพิจารณาแบบจำลองทางเรขาคณิตแบบเคลื่อนไหว Brownian ds t (rdrf) S t t ttt t dw t (1.1) สำหรับอัตราแลกเปลี่ยนอ้างอิงที่ระบุไว้ใน FOR-DOM (ต่างประเทศ) ซึ่งหมายความว่าหนึ่งหน่วย สกุลเงินต่างประเทศใช้หน่วย FOR-DOM ของสกุลเงินในประเทศ ในกรณีของ EUR - USD กับจุดของ ซึ่งหมายความว่าราคาของ EUR หนึ่งเป็น USD ความคิดของต่างประเทศและในประเทศไม่ได้อ้างถึงสถานที่ตั้งของกิจการการค้า แต่เฉพาะในอนุสัญญาฉบับนี้เท่านั้น เรากำหนดอัตราดอกเบี้ยต่างประเทศ (ต่อเนื่อง) โดย r f และ (ต่อเนื่อง) อัตราดอกเบี้ยในประเทศโดย r d ในส่วนของส่วนของผู้ถือหุ้น r จะเป็นอัตราเงินปันผลต่อเนื่อง ความผันผวนนี้แสดงด้วย sigma และ w t เป็นแบบมาตรฐาน Brownian เส้นทางตัวอย่างจะแสดงในรูปที่ 1.1 เราพิจารณารูปแบบมาตรฐานนี้ไม่ใช่เพราะสะท้อนถึงคุณสมบัติทางสถิติของอัตราแลกเปลี่ยน (อันที่จริงไม่ได้เป็นเช่นนั้น) แต่เนื่องจากมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในระบบการปฏิบัติและระบบสำนักงานหน้าและทำหน้าที่เป็นเครื่องมือในการสื่อสารราคาในตัวเลือก FX . ราคาเหล่านี้มักจะอ้างถึงในแง่ของความผันผวนในรูปแบบนี้ การใช้กฎของ Itocirc เพื่อให้ S t ให้โซลูชันต่อไปนี้สำหรับกระบวนการ S t S t S 0 exp sigma2) t sigmaw t, (1.2) ซึ่งแสดงให้เห็นว่า S t คือ log-normal distribution, อย่างแม่นยำมากขึ้น S l เป็นปกติ กับค่าเฉลี่ย ln S 0 (rdrf 1 2 sigma2) t และความแปรปรวน sigma 2 t สมมติฐานรูปแบบอื่น ๆ คือ 16 16 Widup รูปที่ 1.1: เลียนแบบเส้นทางของการเคลื่อนไหวทางเรขาคณิต Brownian การกระจายของจุด S T ในเวลา T เป็น log-normal 1. ไม่มีการเก็งกำไร 2. การซื้อขายไม่มีความเสียดทานไม่มีค่าใช้จ่ายในการทำธุรกรรมใด ๆ 3. สามารถรับตำแหน่งใด ๆ ได้ทุกเวลาไม่ว่าจะเป็นระยะสั้นเศษยาวโดยพลการและไม่มีข้อ จำกัด ด้านสภาพคล่องให้ได้รับค่าตอบแทนสำหรับตัวเลือกวานิลลา โดย F phi (s TK), (1.3) โดยที่พารามิเตอร์ตามสัญญาคือค่า K, เวลาหมดอายุ T และชนิด phi, ตัวแปรไบนารีซึ่งใช้ค่า 1 ในกรณีที่มีการเรียกเลขหมายและ 1 ในกรณีของ a ใส่ สัญลักษณ์ x หมายถึงส่วนที่เป็นบวกของ x คือ x max (0, x) 0 x ค่าในรูปแบบ Black-Scholes ค่าของ payoff F ในเวลา t ถ้าจุดเป็นที่ x แสดงด้วย v (t, x ) และสามารถคํานวณไดวาเปนทางออกของการแบงสวนที่แตกตางกัน Black-Scholes 17 ตัวอยาง FX และ Structured Products 17 สมการ vtrdv (rdrf) xv x sigma2 x 2 v xx 0, (1.4) v (t, x) F. (1.5 ) หรือเทียบเท่า (Feynman-Kac-Theorem) เป็นมูลค่าลดที่คาดหวังของ payofffunction, v (x, k, t, t, sigma, rd, rf, phi) er dtau IEF (1.6) นี่คือเหตุผลที่วิศวกรรมทางการเงินขั้นพื้นฐานส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนหรือการคำนวณความคาดหวัง (การรวมตัวเลข) ผลลัพธ์คือสูตร Black-Scholes เราย่อตัว v (x, k, t, t, sigma, r d, r f, phi) phie r dtau fn (phid) KN (phid) (1.7) x: ราคาปจจุบันของ Tau T t: ระยะเวลาที่จะครบกําหนด IES T S t x x (r d r f) tau ราคาล่วงหน้าของหุ้นอ้างอิง theta plusmn rdrf sigma plusmn sigma 2 d plusmn ln x k sigmatheta plusmntau sigma tau ln f k plusmn sigma 2 2 tau sigma tau n (t) 1 2pi e 1 2 t2 n (t) N (x) xn (t) dt 1 N (x) สูตร Black-Scholes สามารถหาได้โดยการใช้สมการของสมการ (1.6) ver dtau IEF e rdtau IEphi (STK) (er dtau phi xe (rdrf 1 2 sigma2) tausigma tauy K) n (y) dy (1.8) หนึ่งต่อไปต้องจัดการกับส่วนที่เป็นบวกและจากนั้นทำตารางเพื่อให้ได้สูตร Black-Scholes รากฐานที่ขึ้นอยู่กับสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วนสามารถทำได้โดยใช้ผลลัพธ์เกี่ยวกับสมการความร้อนที่ศึกษากันดี 18 18kupup หมายเหตุเกี่ยวกับการส่งต่อราคาล่วงหน้าหมายถึงการนัดหยุดงานซึ่งทำให้ค่าศูนย์เป็นศูนย์ของสัญญาซื้อขายล่วงหน้า F S T (1.9) เท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นราคาที่คาดว่าจะอยู่ในช่วงเวลา T ในการตั้งค่าความเสี่ยงเป็นกลาง (การลอยลำของการเคลื่อนไหว Brownian ทางเรขาคณิตจะเท่ากับค่าใช้จ่ายในการดำเนินการ r) สถานการณ์ r d gt r เรียกว่า contango และสถานการณ์ r d r r เรียกว่า backwardward โปรดทราบว่าในรูปแบบ Black-Scholes คลาสของเส้นโค้งราคาในอนาคตมีข้อ จำกัด ค่อนข้าง จำกัด ตัวอย่างเช่นไม่สามารถรวมผลตามฤดูกาลได้ โปรดทราบว่ามูลค่าของสัญญาซื้อขายล่วงหน้าหลังจากศูนย์เวลาโดยปกติจะแตกต่างจากศูนย์และเนื่องจากคู่สัญญารายหนึ่งอยู่ในระยะสั้นเสมออาจมีความเสี่ยงจากการผิดนัดชำระหนี้ของคู่สัญญาฝ่ายต่ำ สัญญาซื้อขายล่วงหน้าป้องกันเรื่องที่เป็นอันตรายนี้โดยทั่วไปคือสัญญาซื้อขายล่วงหน้า แต่คู่สัญญาจะต้องมีบัญชีเพื่อให้แน่ใจว่าจำนวนเงินสดหรือสินค้าที่ค้างชำระไม่เกินจำนวนที่กำหนดไว้ Greeks Greeks เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันมูลค่าตามรูปแบบ และพารามิเตอร์สัญญา พวกเขาเป็นข้อมูลที่สำคัญสำหรับผู้ค้าและกลายเป็นข้อมูลมาตรฐานที่ได้รับจากระบบสำนักงานหน้า รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับชาวกรีกและความสัมพันธ์ระหว่างชาวกรีกได้ถูกนำเสนอใน Hakala and Przetup 50 หรือ Reiss andeksup 84 สำหรับตัวเลือกวานิลลาที่เราแสดงรายชื่อไว้ตอนนี้ (จุด) เดลต้า v x phie r f tau N (phid) (1.10) Forward Delta เดลต้าฟุ้งเฟ้อ vf phie r dtau N (phid) (1.11) phin (phid) (1.12) รังสีแกมมา 2 ตัวแบบ FX และผลิตภัณฑ์โครงสร้าง 19 ความเร็ว 3 v x 3 e r f tau n (d) x 2 sigma tau () d sigma tau 1 (1.14) Theta (d) xsigma 2 tau phir f f r f tau N (phid) r d Ke rdtau N (phid) (1.15) เสน่ห์ 2 v x tau phir f e r f tau N (phid) phie r f tau n (d) 2 (r d r f) tau d sigma tau 2tausigma tau (1.16) สี 3 v x 2 tau e r f tau n (d) 2xtausigma tau 2r f tau (r d r f) tau d sigma tau 2tausigma d tau (1.17) Vega v sigma xe rf tau taun (d) (1.18) โวลก้า 2 v sigma 2 xe r f tau taun (d) d d sigma (1.19) Volga บางครั้งเรียกว่า vomma หรือ volgamma Vanna 2 v sigma x e r f tau n (d) d sigma (1.20) Rho (1.21) v r f phixtaue r f tau N (phid) (1.22) 20 20derup เดลต้าคู่ Dual Gamma v (d) K 2 Ksigma tau (1.24) Theta Dual v T vt (1.25) Identity ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ (put-call-parity) เป็นความสัมพันธ์ d plusmn d (1.26) sigma sigma d plusmn tau (1.27) rd sigma d plusmn tau (1.28) rf sigma xe rf tau n (d) ke rdtau n (ง) (1.29) N (phid) IP phis T phik (1.30) N (phid) IP phis T phi f 2 (1.31) K v (x, K, t, t, sigma, rd, rf, 1) v (x, K, T, t, sigma, rd, rf, 1) รถ rf tau Ke r dtau, (1.32) ซึ่งเป็นเพียงวิธีที่ซับซ้อนมากขึ้นในการเขียนสมการเล็กน้อย xx x ความเท่าเทียมกันของเดลต้าเรียกใส่คือ v (x, k, t, t, sigma, r d, r f, 1) x v (x, k, t, t, sigma, r d, r f, 1) x e r f tau (1.33) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราได้เรียนรู้ว่าค่าสัมบูรณ์ของเดลต้าเดลต้าและเดลต้าเรียกไม่ได้เพิ่มขึ้นเพียงอย่างเดียว แต่จะเป็นจำนวนบวก e r f tau พวกเขาเพิ่มขึ้นประมาณหนึ่งถ้าทั้งเวลาที่หมดอายุ tau สั้นหรือถ้าอัตราดอกเบี้ยต่างประเทศ rf อยู่ใกล้กับศูนย์ 21 ตัวเลือก FX และผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้าง 21 ในขณะที่ทางเลือก K f มีค่าเท่ากันสำหรับการโทรและวางเราจะหาการตีแบบ deltasymmetric ซึ่งสร้างทวิภาคที่เหมือนกันอย่างสมบูรณ์ (จุดต่อหรือไม่ลอย) เงื่อนไขนี้แสดงถึง d 0 ดังนั้น fe sigma2 2 T, (1.34) ซึ่งในกรณีที่เดลต้าแน่นอนเป็น erf tau 2. โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราเรียนรู้ว่าเสมอ gt f คือมี t เป็น put และ call ที่มีค่าเหมือนกัน และ deltas โปรดทราบว่าการประท้วงมักจะถูกเลือกเป็นการประท้วงกลางเมื่อซื้อขาย straddle หรือผีเสื้อ เช่นเดียวกันการตีความสมมาตร dual-Delta-Symmetric circk fe sigma2 2 T สามารถหาได้จากเงื่อนไข d ความสัมพันธ์ตามเนื้อเดียวกัน (Homogeneity based Relationships) เราอาจต้องการวัดมูลค่าของมูลฐานในหน่วยอื่น นี้จะเห็นได้ชัดมีผลต่อสูตรการกำหนดราคาตัวเลือกดังต่อไปนี้ av (x, k, t, sigma, rd, rf, phi) v (ax, ak, t, t, sigma, rd, rf, phi) สำหรับทุก gt 0. (1.35) ความแตกต่างทั้งสองด้านด้วยความเคารพ (1.36) การเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ของ x และ K ในสมการ (1.7) และ (1.36) จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่มีนัยสำคัญสำหรับ delta vx และ dual delta v K. ค่า x - ความสามัคคีเป็นเหตุผลที่อยู่เบื้องหลังความเรียบง่ายของสูตรเดลต้าที่มีการคำนวณที่น่าเบื่อสามารถบันทึกด้วยวิธีนี้ เราสามารถทำการคำนวณที่คล้ายกันสำหรับพารามิเตอร์ที่ได้รับผลกระทบตามเวลาและได้สมการที่เห็นได้ชัด v (x, k, t, t, sigma, rd, rf, phi) v (x, k, t a, ta, asigma, ar d , ar f, phi) สำหรับทุก gt 0. (1.37) การแยกความแตกต่างทั้งสองด้านด้วยความเคารพต่อ a แล้วกำหนด 1 yields tauv t sigmav sigma rdv rd rfv rf (1.38) แน่นอนว่าสิ่งนี้สามารถตรวจสอบได้ด้วยการคำนวณโดยตรง การใช้สมการดังกล่าวโดยรวมคือการสร้างเกณฑ์การตรวจสอบคู่เมื่อใช้คอมพิวเตอร์กรีก วิธีการที่เป็นเนื้อเดียวกันเหล่านี้สามารถขยายไปยังตัวเลือกที่ซับซ้อนอื่น ๆ ได้ง่ายขึ้น โดยสมมุติฐานแบบ put-call เราเข้าใจความสัมพันธ์ (ดู 6, 7,16 และ 19) v (x, k, t, t, sigma, rd, rf, 1) K fv (x, f 2 K, t, t, sigma, rd, rf, 1) (1.39) 22 22 นิทรรศการการนัดหยุดงานของการวางและการนัดหยุดงานของการโทรส่งผลให้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตเท่ากับค่าส่งต่อ f การส่งต่อสามารถตีความได้ว่าเป็นกระจกเรขาคณิตที่สะท้อนการโทรเข้าจำนวนที่กำหนด โปรดทราบว่าสำหรับตัวเลือกเงินที่ (Kf) สมมาตรแบบ put-call สอดคล้องกับกรณีพิเศษของความเท่าเทียมกันในการวางสายซึ่งการโทรและการวางมีค่าเท่ากัน การคำนวณโดยตรงแสดงให้เห็นว่าอัตราสมมาตร v v tauv (1.40) r d r f ถือสำหรับตัวเลือกวานิลลา ความสัมพันธ์นี้ในความเป็นจริงถือสำหรับตัวเลือกทั้งหมดของยุโรปและตัวเลือกที่ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่กว้างมากดังแสดงในข้อ 84. หนึ่งสามารถตรวจสอบความสัมพันธ์ระหว่างสมมาตรในต่างประเทศได้โดยตรง xv (x, k, t, t, sigma, rd) , rf, phi) Kv (1 x, 1 k, t, t, sigma, rf, rd, phi) (1.41) ความเท่าเทียมกันนี้สามารถมองได้ว่าเป็นหนึ่งในใบหน้าของสมมุติแบบ put-call เหตุผลก็คือค่าของตัวเลือกสามารถคำนวณได้ทั้งในประเทศและในสถานการณ์ต่างประเทศ เราพิจารณาตัวอย่างของ S t การสร้างแบบจำลองของอัตราแลกเปลี่ยนของ EURUSD ใน New York ตัวเลือกการโทร (STK) มีค่าใช้จ่ายเป็นค่าวี (x, k, t, t, sigma, r usd, r eur, 1) USD และด้วยเหตุนี้ v (x, k, t, t, sigma, r usd, r eur, 1) x () 1. EUR ตัวเลือกนี้สามารถเรียกดูเป็นตัวเลือกการวางเงิน USD พร้อมกับการจ่ายเงิน K 1 KST ตัวเลือกนี้จะใช้จ่าย Kv (1, 1, T, t, sigma, rx K eur, r usd, 1) EUR ในแฟรงค์เฟิร์ตเนื่องจาก S t และ 1 S t มีความผันผวนเช่นเดียวกัน แน่นอนว่าค่า New York และมูลค่าแฟรงค์เฟิร์ตต้องตกลงกันซึ่งจะนำไปสู่ ​​(1.41) นอกจากนี้เรายังจะได้เรียนรู้ในภายหลังว่าสมมาตรนี้เป็นเพียงผลที่เป็นไปได้จากการเปลี่ยนแปลงเลขที่อ้างอิง (Numeraire Quotation Quotation) ของสมการอัตราแลกเปลี่ยนอ้างอิง (1.1) เป็นรูปแบบของอัตราแลกเปลี่ยน การเสนอราคาเป็นปัญหาที่ทำให้เกิดความสับสนอย่างถาวรดังนั้นเราจะชี้แจงเรื่องนี้ที่นี่ อัตราแลกเปลี่ยนหมายถึงจำนวนเงินในประเทศที่ต้องการซื้อหน่วยเงินตราต่างประเทศหนึ่งหน่วย ตัวอย่างเช่นถ้าเราใช้ EURUSD เป็นอัตราแลกเปลี่ยนจากนั้นใบเสนอราคาเริ่มต้นคือ EUR-USD โดยที่ USD เป็นสกุลเงินในประเทศและ EUR เป็นสกุลเงินต่างประเทศ คำว่า domestic ไม่เกี่ยวข้องกับสถานที่ตั้งของผู้ค้าหรือประเทศใด ๆ มันหมายถึงสกุลเงิน numeraire ข้อกำหนดสกุลเงินในประเทศสกุลเงินหรือสกุลเงินพื้นฐานเป็นคำพ้องความหมายเหมือนกับต่างประเทศและเป็นรากฐาน ในหนังสือเล่มนี้เราหมายถึงเครื่องหมายทับ () คู่สกุลเงินและเครื่องหมายขีดกลาง (-) ใบเสนอราคา เครื่องหมายทับ () ไม่ได้หมายถึงส่วนใดส่วนหนึ่ง ยกตัวอย่างเช่น EURUSD สามารถเสนอราคาเป็นสกุลเงินยูโร - ดอลลาร์สหรัฐซึ่งหมายถึงจำนวนเงินที่ต้องการในการซื้อ EUR หรือ USD-EUR ซึ่งหมายถึงจำนวนเงินที่ต้องการซื้อ EUR หนึ่งเหรียญ มีใบเสนอราคาตามมาตรฐานตลาดที่ระบุไว้ในตารางที่ 1.1 23 ตัวเลือก FX และผลิตภัณฑ์ Structured 23 สกุลเงินเริ่มต้นของการเสนอราคาตัวอย่างราคา GBPUSD GBP-GBP GBP CHF GBP-CHF EURUSD EUR-USD EURGBP EUR-GBP EURJPY EUR-JPY EURCHF EUR-CHF USDJPY USD-JPY USDCHF USD-CHF ตารางที่ 1.1: ใบเสนอราคาของคู่สกุลเงินหลักที่มีตัวอย่างราคา Spot Floor Floor เราจะเรียกหนึ่งล้านบาทเจ้าชู้หนึ่งพันล้านหลา เนื่องจากพันล้านเหรียญเรียกว่า milliarde ในภาษาฝรั่งเศสเยอรมันและอื่น ๆ สำหรับปอนด์อังกฤษหนึ่งล้านก็มักจะเรียกว่า quid คู่สกุลเงินบางแห่งมีชื่อ ยกตัวอย่างเช่น GBPUSD เรียกว่าสายเคเบิลเนื่องจากข้อมูลอัตราแลกเปลี่ยนเคยถูกส่งผ่านสายเคเบิลในมหาสมุทรแอตแลนติกระหว่างอเมริกาและอังกฤษ EURJPY เรียกว่าไม้กางเขนเนื่องจากเป็นอัตราแลกเปลี่ยนของ USDJPY และ EURUSD ที่ซื้อขายได้มากขึ้น สกุลเงินบางแห่งมีชื่อเช่น ดอลลาร์นิวซีแลนด์ NZD เรียกว่ากีวีสกุลเงินดอลลาร์ออสเตรเลียที่เรียกว่าออสซี่สกุลเงินสแกนดิเนเวีย DKR NOK และ SEK เรียกว่า Scandies อัตราแลกเปลี่ยนโดยทั่วไปจะยกมาถึงห้าตัวเลขที่เกี่ยวข้องเช่น ในสกุลเงิน EUR-USD เราสามารถสังเกตใบเสนอราคาของตัวเลขสุดท้าย 5 เรียกว่า pip, ตัวเลขกลาง 3 เรียกว่าตัวเลขใหญ่เป็นอัตราแลกเปลี่ยนมักจะแสดงในชั้นการซื้อขายและตัวเลขใหญ่ซึ่งจะแสดงในขนาดใหญ่, เป็นข้อมูลที่เกี่ยวข้องมากที่สุด ตัวเลขที่เหลือไว้สำหรับตัวเลขใหญ่เป็นที่ทราบกันอยู่แล้วว่าส่วนขวาของตัวเลขใหญ่ ๆ มักไม่ค่อยสำคัญนัก เพื่อให้ชัดเจนขึ้นการเพิ่มขึ้นของ USD-JPY โดย 20 pips จะเป็นและเพิ่มขึ้น 2 ตัวเลขใหญ่จะเป็นราคาใบเสนอราคาราคาและราคาของตัวเลือกวานิลลาอาจจะยกมาในหกวิธีที่อธิบายไว้ในตารางที่ 1.2 24 24 สัญลักษณ์การขายทอดตลาดชื่อย่อในหน่วยของเงินสดในประเทศตัวอย่าง D DOM 29,148 USD เงินสดต่างประเทศ f สำหรับ 24,290 EUR ในประเทศ D DOM ต่อหน่วยของ DOM USD ต่างประเทศ F ต่อหน่วยของ EUR Pips ภายในประเทศ d pips DOM ต่อหน่วยของ USD ต่อ PP ต่อ EUR Pips ต่างประเทศ F Pips ต่อหน่วยของ DOM EUR pips ต่อ USD ตาราง 1.2: ประเภทราคาเสนอของตลาดมาตรฐานสำหรับค่าตัวเลือก ในตัวอย่างเราใช้ FOREUR, DOMUSD, S 0 r d 3.0, r f 2.5, sigma 10, k T 1 ปี, phi 1 (โทร), สัญญา 1, 000, 000 EUR 1, 250, 000 USD สำหรับส่วนต่างราคาอ้างอิงของ EUR pips ต่อยูโรเป็นบางครั้งเป็น USD ต่อ 1 EUR ในทำนองเดียวกัน EUR pips ต่อ USD สามารถระบุเป็น EUR ต่อ 1 USD สูตร Black-Scholes d pips คนอื่น ๆ สามารถคำนวณโดยใช้คำสั่งต่อไปนี้ d pips 1 S 0 S 0 1 f K S d 0 S f pips 0 K d pips (1.42) Delta และอนุสัญญาพรีเมี่ยมจุดเดลต้าของยุโรปตัวเลือกโดยไม่ต้องพรีเมี่ยมเป็นที่รู้จักกันดี จะเรียกว่า raw spot delta delta raw ตอนนี้ มันสามารถอ้างได้ในทั้งสองสกุลเงินที่เกี่ยวข้อง ความสัมพันธ์เป็นเดลต้าดิบ delta ดิบดิบ S K. (1.43) เดลต้าจะใช้ในการซื้อหรือขายจุดในจำนวนที่สอดคล้องกันเพื่อป้องกันความเสี่ยงตัวเลือกถึงคำสั่งแรก สำหรับความสม่ำเสมอพรีเมี่ยมจะต้องรวมอยู่ในการป้องกันความเสี่ยงเดลต้าเนื่องจากพรีเมี่ยมในสกุลเงินต่างประเทศจะป้องกันความเสี่ยงเป็นส่วนหนึ่งของความเสี่ยงเดลต้าตัวเลือก เพื่อให้ชัดเจนนี้ให้เราพิจารณา EUR-USD ในทฤษฎีการเก็งกำไรมาตรฐาน v (x) หมายถึงมูลค่าหรือค่าเบี้ยประกันภัยในสกุลเงินดอลลาร์สหรัฐของตัวเลือกที่มีการอ้างอิง 1 ยูโรถ้าจุดอยู่ที่ x และเดลต้าดิบหมายถึงจำนวนเงิน EUR ที่จะซื้อเพื่อป้องกันความเสี่ยงเดลต้า ดังนั้น xv x คือจำนวนเหรียญสหรัฐที่จะขาย ถ้าตอนนี้พรีเมี่ยมจ่ายในสกุลเงินยูโรมากกว่าในสกุลเงินดอลลาร์สหรัฐแล้วเรามี VX EUR แล้วและจำนวน EUR ที่จะซื้อจะต้องลดลงด้วยจำนวนนี้เช่นถ้า EUR เป็นสกุลเงินพรีเมียมเราจำเป็นต้องซื้อ vxvx EUR สำหรับ ป้องกันความเสี่ยงเดลต้าหรือเทียบเท่าขาย xv xv USD 25 ตัวเลือก FX และผลิตภัณฑ์ที่มีโครงสร้าง 25 เรื่องราวทั้งหมดของ FX quotation กลายเป็นเรื่องที่ยุ่งเหยิงเพราะเราจำเป็นต้องเรียงลำดับสกุลเงินที่เป็นสกุลเงินในประเทศซึ่งเป็นสกุลเงินต่างประเทศสกุลเงินที่เป็นตัวบ่งชี้คืออะไรและสกุลเงินพรีเมียมคืออะไร แต่น่าเสียดายที่เรื่องนี้ไม่สมมาตรเนื่องจากคู่ค้าอาจมีแนวคิดเกี่ยวกับสกุลเงินในประเทศสำหรับคู่สกุลเงินหนึ่ง ๆ ดังนั้นในตลาดระหว่างธนาคารมืออาชีพมีความคิดหนึ่งของเดลต้าต่อสกุลเงินคู่ โดยปกติจะเป็นเดลต้าด้านซ้ายมือของหน้าจอ Fenics หากตัวเลือกนี้มีการซื้อขายในพรีเมียมด้านซ้ายมือซึ่งเป็นปกติเดลต้าด้านมาตรฐานและด้านขวาหากมีการซื้อขายด้วยพรีเมี่ยมด้านขวามือเช่น EURUSD lhs, USDJPY lhs, EURJPY lhs, AUDUSD rhs เป็นต้นเนื่องจากตัวเลือก OTM มีการซื้อขายกันเป็นระยะเวลานานความแตกต่างไม่ใหญ่มากและไม่ก่อให้เกิดความเสี่ยงในจุดมากนัก นอกจากนี้เดลต้ามาตรฐานต่อสกุลเงินคู่ด้านซ้าย delta ฝั่งใน Fenics สำหรับกรณีส่วนใหญ่จะใช้ในการพูดตัวเลือกในความผันผวน ต้องระบุตามสกุลเงิน ความคิดระหว่างธนาคารมาตรฐานนี้จะต้องมีการปรับให้เข้ากับความเสี่ยงของเดลต้าที่แท้จริงของธนาคารสำหรับระบบการซื้อขายอัตโนมัติ สำหรับสกุลเงินที่สกุลเงินที่มีความเสี่ยงฟรีของธนาคารเป็นสกุลเงินหลักของสกุลเงินเป็นที่ชัดเจนว่าเดลต้าเป็นเดลต้าดิบของตัวเลือกและสำหรับพรีเมี่ยมที่มีความเสี่ยงนี้พรีเมี่ยมจะต้องรวม In the opposite case the risky premium and the market value must be taken into account for the base currency premium, such that these offset each other. And for premium in underlying currency of the contract the market-value needs to be taken into account. In that way the delta hedge is invariant with respect to the risky currency notion of the bank, e. g. the delta is the same for a USD-based bank and a EUR-based bank. Example We consider two examples in Table 1.3 and 1.4 to compare the various versions of deltas that are used in practice. delta ccy prem ccy Fenics formula delta EUR EUR lhs delta raw P EUR USD rhs delta raw USD EUR rhs flip F4 (delta raw P )SK USD USD lhs flip F4 (delta raw )SK Table 1.3: 1y EUR call USD put strike K for a EUR based bank. Market data: spot S . volatility sigma 12, EUR rate r f 3.96, USD rate r d 3.57. The raw delta is 49.15EUR and the value is 4.427EUR. 26 26 Wystup delta ccy prem ccy Fenics formula delta EUR EUR lhs delta raw P EUR USD rhs delta raw USD EUR rhs flip F4 (delta raw P )SK USD USD lhs flip F4 delta raw SK Table 1.4: 1y call EUR call USD put strike K for a EUR based bank. Market data: spot S . volatility sigma 12, EUR rate r f 3.96, USD rate r d 3.57. The raw delta is 94.82EUR and the value is 21.88EUR Strike in Terms of Delta Since v x phie r f tau N (phid ) we can retrieve the strike as K x exp . (1.44) Volatility in Terms of Delta The mapping sigma phie r f tau N (phid ) is not one-to-one. The two solutions are given by sigma plusmn 1 tau(d d ). (1.45) tau Thus using just the delta to retrieve the volatility of an option is not advisable Volatility and Delta for a Given Strike The determination of the volatility and the delta for a given strike is an iterative process involving the determination of the delta for the option using at-the-money volatilities in a first step and then using the determined volatility to re determine the delta and to continuously iterate the delta and volatility until the volatility does not change more than 0.001 between iterations. More precisely, one can perform the following algorithm. Let the given strike be K. 1. Choose sigma 0 at-the-money volatility from the volatility matrix. 2. Calculate n1 (Call(K, sigma n )). 3. Take sigma n1 sigma( n1 ) from the volatility matrix, possibly via a suitable interpolation. 4. If sigma n1 sigma n lt , then quit, otherwise continue with step 2. 27 FX Options and Structured Products 27 In order to prove the convergence of this algorithm we need to establish convergence of the recursion n1 e r f tau N (d ( n )) (1.46) ( e r f ln(sk) tau (rd r f 1 ) 2 N sigma2 ( n ))tau sigma( n ) tau for sufficiently large sigma( n ) and a sufficiently smooth volatility smile surface. We must show that the sequence of these n converges to a fixed point 0, 1 with a fixed volatility sigma sigma( ). This proof has been carried out in 15 and works like this. We consider the derivative The term n1 e r f tau n(d ( n )) d ( n ) n sigma( n ) sigma( n ). (1.47) n e r f tau n(d ( n )) d ( n ) sigma( n ) converges rapidly to zero for very small and very large spots, being an argument of the standard normal density n. For sufficiently large sigma( n ) and a sufficiently smooth volatility surface in the sense that n sigma( n ) is sufficiently small, we obtain sigma( n ) n q lt 1. (1.48) Thus for any two values (1) n1, (2) n1, a continuously differentiable smile surface we obtain (1) n1 (2) n1 lt q (1) n (2) n, (1.49) due to the mean value theorem. Hence the sequence n is a contraction in the sense of the fixed point theorem of Banach. This implies that the sequence converges to a unique fixed point in 0, 1, which is given by sigma sigma( ) Greeks in Terms of Deltas In Foreign Exchange markets the moneyness of vanilla options is always expressed in terms of deltas and prices are quoted in terms of volatility. This makes a ten-delta call a financial object as such independent of spot and strike. This method and the quotation in volatility makes objects and prices transparent in a very intelligent and user-friendly way. At this point we list the Greeks in terms of deltas instead of spot and strike. Let us introduce the quantities phie r f tau N (phid ) spot delta, (1.50) phie r dtau N (phid ) dual delta, (1.51) 28 28 Wystup which we assume to be given. From these we can retrieve Interpretation of Dual Delta d phin 1 (phie r f tau ), (1.52) d phin 1 ( phie r dtau ). (1.53) The dual delta introduced in (1.23) as the sensitivity with respect to strike has another - more practical - interpretation in a foreign exchange setup. We have seen in Section that the domestic value v(x, K, tau, sigma, r d, r f, phi) (1.54) corresponds to a foreign value v( 1 x, 1 K, tau, sigma, r f, r d, phi) (1.55) up to an adjustment of the nominal amount by the factor xk. From a foreign viewpoint the delta is thus given by ( ) phie rdtau N phi ln( K ) (r x f r d sigma2 tau) sigma tau ( phie rdtau N phi ln( x ) (r K d r f 1 ) 2 sigma2 tau) sigma tau , (1.56) which means the dual delta is the delta from the foreign viewpoint. We will see below that foreign rho, vega and gamma do not require to know the dual delta. We will now state the Greeks in terms of x, . r d, r f, tau, phi. Value. (Spot) Delta. v(x, . r d, r f, tau, phi) x x e r f tau n(d ) e r dtau n(d ) (1.57) Forward Delta. v f v x (1.58) e (r f r d )tau (1.59) 29 FX Options and Structured Products 29 Gamma. 2 v e r f tau n(d ) x 2 x(d d ) (1.60) Taking a trader s gamma (change of delta if spot moves by 1) additionally removes the spot dependence, because Gamma trader x 2 v e r f tau n(d ) 100 x 2 100(d d ) (1.61) Speed. 3 v e r f tau n(d ) x 3 x 2 (d d ) (2d 2 d ) (1.62) Theta. 1 v x t e r f tau n(d )(d d ) 2tau e r f tau n(d ) r f r d e r dtau n(d ) (1.63) Charm. Color. Vega. Volga. 2 v x tau 3 v x 2 tau phir f e r f tau N (phid ) phie r f tau n(d ) 2(r d r f )tau d (d d ) 2tau(d d ) (1.64) e r f tau n(d ) 2r f tau (r d r f )tau d (d d ) d 2xtau(d d ) 2tau(d d ) (1.65) v sigma xe r f tau taun(d ) (1.66) 2 v sigma 2 xe r f tau taun(d ) d d d d (1.67) 30 30 Wystup Vanna. 2 v sigma x e r f tau taud n(d ) (1.68) d d Rho. Dual Delta. v e rf tau n(d ) xtau (1.69) r d e r dtau n(d ) v xtau (1.70) r f v K (1.71) Dual Gamma. K 2 2 v K 2 x 2 2 v x 2 (1.72) Dual Theta. v T v t (1.73) As an important example we consider vega. Vega in Terms of Delta The mapping v sigma xe r f tau taun(n 1 (e r f tau )) is important for trading vanilla options. Observe that this function does not depend on r d or sigma, just on r f. Quoting vega in foreign will additionally remove the spot dependence. This means that for a moderately stable foreign term structure curve, traders will be able to use a moderately stable vega matrix. For r f 3 the vega matrix is presented in Table Volatility Volatility is the annualized standard deviation of the log-returns. It is the crucial input parameter to determine the value of an option. Hence, the crucial question is where to derive the volatility from. If no active option market is present, the only source of information is estimating the historic volatility. This would give some clue about the past. In liquid currency 31 FX Options and Structured Products 31 Mat 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1D W W M M M M M Y Y Y Table 1.5: Vega in terms of Delta for the standard maturity labels and various deltas. It shows that one can vega hedge a long 9M 35 delta call with 4 short 1M 20 delta puts. pairs volatility is often a traded quantity on its own, which is quoted by traders, brokers and real-time data pages. These quotes reflect views of market participants about the future. Since volatility normally does not stay constant, option traders are highly concerned with hedging their volatility exposure. Hedging vanilla options vega is comparatively easy, because vanilla options have convex payoffs, whence the vega is always positive, i. e. the higher the volatility, the higher the price. Let us take for example a EUR-USD market with spot. USD - and EUR rate at 2.5. A 3-month at-the-money call with 1 million EUR notional would cost 29,000 USD at at volatility of 12. If the volatility now drops to a value of 8, then the value of the call would be only 19,000 USD. This monotone dependence is not guaranteed for non-convex payoffs as we illustrate in Figure Historic Volatility We briefly describe how to compute the historic volatility of a time series S 0, S 1. S N (1.74) 32 32 Wystup Figure 1.2: Dependence of a vanilla call and a reverse knock-out call on volatility. The vanilla value is monotone in the volatility, whereas the barrier value is not. The reason is that as the spot gets closer to the upper knock-out barrier, an increasing volatility would increase the chance of knock-out and hence decrease the value. of daily data. First, we create the sequence of log-returns Then, we compute the average log-return r i ln S i S i 1, i 1. N. (1.75) r 1 N N r i, (1.76) i1 33 FX Options and Structured Products 33 their variance and their standard deviation circsigma 2 1 N 1 N (r i r) 2, (1.77) i1 circsigma 1 N (r i r) N 1 2. (1.78) The annualized standard deviation, which is the volatility, is then given by circsigma a B N (r i r) N 1 2, (1.79) where the annualization factor B is given by i1 i1 B N d, (1.80) k and k denotes the number of calendar days within the time series and d denotes the number of calendar days per year. The is done to press the trading days into the calendar days. Assuming normally distributed log-returns, we know that circsigma 2 is chi 2 - distributed. Therefore, given a confidence level of p and a corresponding error probability alpha 1 p, the p-confidence interval is given by N 1 N 1 circsigma a, circsigma chi 2 a, (1.81) N 11 chi 2 alpha N 1 alpha 2 2 where chi 2 np denotes the p-quantile of a chi 2 - distribution 1 with n degrees of freedom. As an example let us take the 256 ECB-fixings of EUR-USD from 4 March 2003 to 3 March 2004 displayed in Figure 1.3. We get N 255 log-returns. Taking k d 365, we obtain r 1 N r i . N i1 circsigma a B N (r i r) N 1 2 10.85, i1 and a 95 confidence interval of 9.99, 11.89. 1 values and quantiles of the chi 2 - distribution and other distributions can be computed on the internet, e. g. at 34 34 Wystup EURUSD Fixings ECB Exchange Rate 403 4403 5403 6403 7403 8403 9403 Date 10403 11403 12403 1404 2404 Figure 1.3: ECB-fixings of EUR-USD from 4 March 2003 to 3 March 2004 and the line of average growth Historic Correlation As in the preceding section we briefly describe how to compute the historic correlation of two time series x 0, x 1. x N, y 0, y 1. y N, of daily data. First, we create the sequences of log-returns Then, we compute the average log-returns X i ln x i x i 1, i 1. N, Y i ln y i y i 1, i 1. N. (1.82) X 1 N 1 N N X i, i1 N Y i, (1.83) i1 35 FX Options and Structured Products 35 their variances and covariance circsigma X 2 circsigma Y 2 circsigma XY and their standard deviations circsigma X circsigma Y 1 N 1 1 N 1 1 N 1 N (X i X) 2, (1.84) i1 N (Y i )2, (1.85) i1 N (X i X)(Y i ), (1.86) i1 1 N (X i N 1 X) 2, (1.87) i1 1 N (Y i N 1 )2. (1.88) i1 The estimate for the correlation of the log-returns is given by circrho circsigma XY circsigma X circsigma Y. (1.89) This correlation estimate is often not very stable, but on the other hand, often the only available information. More recent work by Jaumlkel 37 treats robust estimation of correlation. We will revisit FX correlation risk in Section Volatility Smile The Black-Scholes model assumes a constant volatility throughout. However, market prices of traded options imply different volatilities for different maturities and different deltas. We start with some technical issues how to imply the volatility from vanilla options. Retrieving the Volatility from Vanilla Options Given the value of an option. Recall the Black-Scholes formula in Equation (1.7). We now look at the function v(sigma), whose derivative (vega) is The function sigma v(sigma) is v (sigma) xe r f T T n(d ). (1.90) 36 36 Wystup 1. strictly increasing, 2. concave up for sigma 0, 2 ln F ln K T ), 3. concave down for sigma ( 2 ln F ln K T, ) and also satisfies v(0) phi(xe r f T Ke r dt ) , (1.91) v(, phi 1) xe r f T, (1.92) v(sigma , phi 1) Ke r dt, (1.93) v (0) xe r f T T 2piII , (1.94) In particular the mapping sigma v(sigma) is invertible. However, the starting guess for employing Newton s method should be chosen with care, because the mapping sigma v(sigma) has a saddle point at ( ) 2 T ln F K, phie r dt F N phi 2T ln FK KN phi 2T ln KF , (1.95) as illustrated in Figure 1.4. To ensure convergence of Newton s method, we are advised to use initial guesses for sigma on the same side of the saddle point as the desired implied volatility. The danger is that a large initial guess could lead to a negative successive guess for sigma. Therefore one should start with small initial guesses at or below the saddle point. For at-the-money options, the saddle point is degenerate for a zero volatility and small volatilities serve as good initial guesses. Visual Basic Source Code Function VanillaVolRetriever(spot As Double, rd As Double, rf As Double, strike As Double, T As Double, type As Integer, GivenValue As Double) As Double Dim func As Double Dim dfunc As Double Dim maxit As Integer maximum number of iterations Dim j As Integer Dim s As Double first check if a volatility exists, otherwise set result to zero If GivenValue lt Application. Max (0, type (spot Exp(-rf T) - strike Exp(-rd T))) Or (type 1 And GivenValue gt spot Exp(-rf T)) Or (type -1 And GivenValue gt strike Exp(-rd T)) Then 37 FX Options and Structured Products 37 Figure 1.4: Value of a European call in terms of volatility with parameters x 1, K 0.9, T 1, r d 6, r f 5. The saddle point is at sigma 48. VanillaVolRetriever 0 Else there exists a volatility yielding the given value, now use Newton s method: the mapping vol to value has a saddle point. First compute this saddle point: saddle Sqr(2 T Abs(Log(spot strike) (rd - rf) T))Your Search: 1 eBooks Search Engine We are pleased to introduce our wonderful site where collected the most remarkable books of the best authors. Only in one place together the best bestsellers for you dear friends. You can develop your knowledge and skills by downloading our books and guides. We are sure that you will enjoy our great project and it will make your life a little better. Our database is updated daily, taking the best that exists in the world. Are you a fan of classic detective or perhaps you like novels or just a professional trader, analyst, economist, doctor, soldier, lawyer, programmer, engineer, electrician, a physicist, an astrologer, a builder, a chemist, assembling, insurance agent. from you You will find a storehouse of knowledge required for your perfection or simply enjoy Leisure time with your best friend by the name of book. We will be very glad to see you again. fr es de no nl da jp ar ro sv zh เหตุผลที่เป็นไปได้: บัตรเครดิตที่ป้อนอาจมีเงินไม่เพียงพอ หมายเลขบัตรเครดิตหรือหมายเลข CVV ไม่ได้ป้อนอย่างถูกต้อง ธนาคารผู้ออกไม่สามารถจับคู่ CVV หรือวันหมดอายุกับบัตรเครดิตที่ให้มาได้ ที่อยู่สำหรับเรียกเก็บเงินของคุณไม่ตรงกับที่อยู่สำหรับเรียกเก็บเงินในบัตรเครดิตของคุณ ส่งบัตรเครดิตไปแล้ว Try using another card. FX Options and Structured Products 1 FX Options and Structured Products Uwe Wystup 7 April 2006 3 Contents 0 Preface Scope of this Book The Readership About the Author Acknowledgments Foreign Exchange Options A Journey through the History Of Options Technical Issues for Vanilla Options Value A Note on the Forward Greeks Identities Homogeneity based Relationships Quotation Strike in Terms of Delta Volatility in Terms of Delta Volatility and Delta for a Given Strike Greeks in Terms of Deltas Volatility Historic Volatility Historic Correlation Volatility Smile At-The-Money Volatility Interpolation Volatility Smile Conventions At-The-Money Definition Interpolation of the Volatility on Maturity Pillars Interpolation of the Volatility Spread between Maturity Pillars Volatility Sources Volatility Cones Stochastic Volatility 4 4 Wystup Exercises Basic Strategies containing Vanilla Options Call and Put Spread Risk Reversal Risk Reversal Flip Straddle Strangle Butterfly Se agull Exercises First Generation Exotics Barrier Options Digital Options, Touch Options and Rebates Compound and Instalment Asian Options Lookback Options Forward Start, Ratchet and Cliquet Options Power Options Quanto Options Exercises Second Generation Exotics Corridors Faders Exotic Barrier Options Pay-Later Options Step up and Step down Options Spread and Exchange Options Baskets Best-of and Worst-of Options Options and Forwards on the Harmonic Average Variance and Volatility Swaps Exercises Structured Products Forward Products Outright Forward Participating Forward Fade-In Forward Knock-Out Forward Shark Forward Fader Shark Forward 5 FX Options and Structured Products Butterfly Forward Range Forward Range Accrual Forward Accumulative Forward Boomerang Forward Amortizing Forward Auto-Renewal Forward Double Shark Forward Forward Start Chooser Forward Free Style Forward Boosted SpotForward Time Option Exercises Series of Strategies Shark Forward Series Collar Extra Series Exercises D eposits and Loans Dual Currency DepositLoan Performance Linked Deposits Tunnel DepositLoan Corridor DepositLoan Turbo DepositLoan Tower DepositLoan Exercises Interest Rate and Cross Currency Swaps Cross Currency Swap Hanseatic Swap Turbo Cross Currency Swap Buffered Cross Currency Swap Flip Swap Corridor Swap Double-No-Touch linked Swap Range Reset Swap Basket Spread Swap Exercises Participation Notes Gold Participation Note Basket-linked Note Issuer Swap Moving Strike Turbo Spot Unlimited 6 6 Wystup 2.6 Hybrid FX Products Practical Matters The Traders Rule of Thumb Cost of Vanna and Volga Observations Consistency check Abbreviations for First Generation Exotics Adjustment Factor Volatility for Risk Reversals, Butterflies and Theoretical Value Pricing Barrier Options Pricing Double Barrier Options Pricing Double-No-Touch Options Pricing European Style Options No-Touch Probability The Cost of Trading and its Implication on the Market Price of Onetouch Options Example Further Application s Exercises Bid Ask Spreads One Touch Spreads Vanilla Spreads Spreads for First Generation Exotics Minimal Bid Ask Spread Bid Ask Prices Exercises Settlement The Black-Scholes Model for the Actual Spot Cash Settlement Delivery Settlement Options with Deferred Delivery Exercises On the Cost of Delayed Fixing Announcements The Currency Fixing of the European Central Bank Model and Payoff Analysis Procedure Error Estimation Analysis of EUR-USD Conclusion 7 FX Options and Structured Products 7 4 Hedge Accounting under IAS Introduction Financial Instruments Overview General Definition Financial Assets Financial Liabilities Offsetting of Financial Assets and Financial Liabilities Equity Instruments Compound Financial Instruments Derivatives Embedded Derivatives Classification of Financial Instruments Evaluation of Financial Instruments Initial Recognition Initial Measurement Subsequent Measurement Derecognition Hedge Accounting Overview Types of Hedges Basic Requirements Stopping Hedge Accou nting Methods for Testing Hedge Effectiveness Fair Value Hedge Cash Flow Hedge Testing for Effectiveness - A Case Study of the Forward Plus Simulation of Exchange Rates Calculation of the Forward Plus Value Calculation of the Forward Rates Calculation of the Forecast Transaction s Value Dollar-Offset Ratio - Prospective Test for Effectiveness Variance Reduction Measure - Prospective Test for Effectiveness Regression Analysis - Prospective Test for Effectiveness Result Retrospective Test for Effectiveness Conclusion Relevant Original Sources for Accounting Standards Exercises 8 8 Wystup 5 Foreign Exchange Markets A Tour through the Market Statement by GFI Group (Fenics), 25 October Interview with ICY Software, 14 October Interview with Bloomberg, 12 October Interview with Murex, 8 November Interview with SuperDerivatives, 17 October Interview with Lucht Probst Associates, 27 February Software and System Requirements Fenics Position Keeping Pricing Straight Through Processing Disclaimers Trading and Sales Proprietary Trading Sales-Driven Trading Inter Bank Sales Branch Sales Institutional Sales Corporate Sales Private Banking Listed FX Options Trading Floor Joke 9 Chapter 0 Preface 0.1 Scope of this Book Treasury management of international corporates involves dealing with cash flows in different currencies. Therefore the natural service of an investment bank consists of a variety of money market and foreign exchange products. This book explains the most popular products and strategies with a focus on everything beyond vanilla options. It explains all the FX options, common structures and tailor-made solutions in examples with a special focus on the application with views from traders and sales as well as from a corporate client perspective. It contains actually traded deals with corresponding motivations explaining why the structures have been traded. This way the reader gets a feeling how to build new structures to suit clients needs. The exercises are meant to practice the material. Several of them are actually difficult to solve and can serve as incentives to further research and testing. Solutions to the exercises are not part of this book, however they will be published on the web page of the book, 0.2 The Readership Prerequisite is some basic knowledge of FX markets as for example taken from the Book Foreign Exchange Primer by Shami Shamah, Wiley 2003, see 90. The target readers are Graduate students and Faculty of Financial Engineering Programs, who can use this book as a textbook for a course named structured products or exotic currency options. 9 10 10 Wystup Traders, Trainee Structurers, Product Developers, Sales and Quants with interest in the FX product line. For them it can serve as a source of ideas and as well as a reference guide. Treasurers of corporates interested in managing their books. With this book at hand they can structure their solutions themselves. The readers more interested in the quantitative and modeling aspects are recommended to read Foreign Exchange Risk by J. Hakala and U. Wystup, Risk Publications, London, 2002, see 50. This book explains several exotic FX options with a special focus on the underlying models and mathematics, but does not contain any structures or corporate clients or investors view. 0.3 About the Author Figure 1: Uwe Wystup, professor of Quantitative Finance at HfB Business School of Finance and Management in Frankfurt, Germany. Uwe Wystup is also CEO of MathFinance AG, a global network of quants specializing in Quantitative Finance, Exotic Options advisory and Front Office Software Production. Previously he was a Financial Engineer and Structurer in the FX Options Trading Team at Commerzbank. Before that he worked for Deutsche Bank, Citibank, UBS and Sal. Oppenheim jr. amp Cie. He is founder and manager of the web site MathFinance. de and the MathFinance Newsletter. Uwe holds a PhD in mathematical finance from Carnegie Mellon University. He also lectures on mathematical finance for Goethe University Frankfurt, organizes the Frankfurt MathFinance Colloquium and is founding director of the Frankfurt MathFinance Institute. He has given several seminars on exotic options, computational finance and volatility modeling. His area of specialization are the quantitative aspects and the design of structured products of foreign 11 FX Options and Structured Products 11 exchange markets. He published a book on Foreign Exchange Risk and articles in Finance and Stochastics and the Journal of Derivatives. Uwe has given many presentations at both universities and banks around the world. Further information on his curriculum vitae and a detailed publication list is available at 0.4 Acknowledgments I would like to thank my former colleagues on the trading floor, most of all Gustave Rieunier, Behnouch Mostachfi, Noel Speake, Roman Stauss, Tamaacutes Korchmaacuteros, Michael Braun, Andreas Weber, Tino Senge, Juumlrgen Hakala, and all my colleagues and co-authors, specially Christoph Becker, Susanne Griebsch, Christoph Kuumlhn, Sebastian Krug, Marion Linck, Wolfgang Schmidt and Robert Tompkins. Chris Swain, Rachael Wilkie and many others of Wiley publications deserve respect as they were dealing with my rather slow speed in completing this book. Nicole van de Locht and Choon Peng Toh deserve a medal for serious detailed proof reading. 13 Chapter 1 Foreign Exchange Options FX Structured Products are tailor-made linear combinations of FX Options including both vanilla and exotic options. We recommend the book by Shamah 90 as a source to learn about FX Markets with a focus on market conventions, spot, forward and swap contracts, vanilla options. For pricing and modeling of exotic FX options we suggest Hakala and Wystup 50 or Lipton 71 as useful companions to this book. The market for structured products is restricted to the market of the necessary ingredients. Hence, typically there are mostly structured products traded the currency pairs that can be formed between USD, JPY, EUR, CHF, GBP, CAD and AUD. In this chapter we start with a brief history of options, followed by a technical section on vanilla options and volatility, and deal with commonly used linear combinations of vanilla options. Then we will illustrated the most important ingredients for FX structured products: the first and second generation exotics. 1.1 A Journey through the History Of Options The very first options and futures were traded in ancient Greece, when olives were sold before they had reached ripeness. Thereafter the market evolved in the following way. 16th century Ever since the 15th century tulips, which were liked for their exotic appearance, were grown in Turkey. The head of the royal medical gardens in Vienna, Austria, was the first to cultivate those Turkish tulips successfully in Europe. When he fled to Holland because of religious persecution, he took the bulbs along. As the new head of the botanical gardens of Leiden, Netherlands, he cultivated several new strains. It was from these gardens that avaricious traders stole the bulbs to commercialize them, because tulips were a great status symbol. 17th century The first futures on tulips were traded in As of 1634, people could 13 14 14 Wystup buy special tulip strains by the weight of their bulbs, for the bulbs the same value was chosen as for gold. Along with the regular trading, speculators entered the market and the prices skyrocketed. A bulb of the strain Semper Octavian was worth two wagonloads of wheat, four loads of rye, four fat oxen, eight fat swine, twelve fat sheep, two hogsheads of wine, four barrels of beer, two barrels of butter, 1,000 pounds of cheese, one marriage bed with linen and one sizable wagon. People left their families, sold all their belongings, and even borrowed money to become tulip traders. When in 1637, this supposedly risk-free market crashed, traders as well as private individuals went bankrupt. The government prohibited speculative trading the period became famous as Tulipmania. 18th century In 1728, the Royal West-Indian and Guinea Company, the monopolist in trading with the Caribbean Islands and the African coast issued the first stock options. Those were options on the purchase of the French Island of Ste. Croix, on which sugar plantings were planned. The project was realized in 1733 and paper stocks were issued in Along with the stock, people purchased a relative share of the island and the valuables, as well as the privileges and the rights of the company. 19th century In 1848, 82 businessmen founded the Chicago Board of Trade (CBOT). Today it is the biggest and oldest futures market in the entire world. Most written documents were lost in the great fire of 1871, however, it is commonly believed that the first standardized futures were traded as of CBOT now trades several futures and forwards, not only T-bonds and treasury bonds, but also options and gold. In 1870, the New York Cotton Exchange was founded. In 1880, the gold standard was introduced. 20th century In 1914, the gold standard was abandoned because of the war. In 1919, the Chicago Produce Exchange, in charge of trading agricultural products was renamed to Chicago Mercantile Exchange. Today it is the most important futures market for Eurodollar, foreign exchange, and livestock. In 1944, the Bretton Woods System was implemented in an attempt to stabilize the currency system. In 1970, the Bretton Woods System was abandoned for several reasons. In 1971, the Smithsonian Agreement on fixed exchange rates was introduced. In 1972, the International Monetary Market (IMM) traded futures on coins, currencies and precious metal. 15 FX Options and Structured Products 15 21th century In 1973, the CBOE (Chicago Board of Exchange) firstly traded call options four years later also put options. The Smithsonian Agreement was abandoned the currencies followed managed floating. In 1975, the CBOT sold the first interest rate future, the first future with no real underlying asset. In 1978, the Dutch stock market traded the first standardized financial derivatives. In 1979, the European Currency System was implemented, and the European Currency Unit (ECU) was introduced. In 1991, the Maastricht Treaty on a common currency and economic policy in Europe was signed. In 1999, the Euro was introduced, but the countries still used cash of their old currencies, while the exchange rates were kept fixed. In 2002, the Euro was introduced as new money in the form of cash. 1.2 Technical Issues for Vanilla Options We consider the model geometric Brownian motion ds t (r d r f )S t dt sigmas t dw t (1.1) for the underlying exchange rate quoted in FOR-DOM (foreign-domestic), which means that one unit of the foreign currency costs FOR-DOM units of the domestic currency. In case of EUR-USD with a spot of. this means that the price of one EUR is USD. The notion of foreign and domestic do not refer the location of the trading entity, but only to this quotation convention. We denote the (continuous) foreign interest rate by r f and the (continuous) domestic interest rate by r d. In an equity scenario, r f would represent a continuous dividend rate. The volatility is denoted by sigma, and W t is a standard Brownian motion. The sample paths are displayed in Figure 1.1. We consider this standard model, not because it reflects the statistical properties of the exchange rate (in fact, it doesn t), but because it is widely used in practice and front office systems and mainly serves as a tool to communicate prices in FX options. These prices are generally quoted in terms of volatility in the sense of this model. Applying Itocirc s rule to ln S t yields the following solution for the process S t S t S 0 exp sigma2 )t sigmaw t, (1.2) which shows that S t is log-normally distributed, more precisely, ln S t is normal with mean ln S 0 (r d r f 1 2 sigma2 )t and variance sigma 2 t. Further model assumptions are 16 16 Wystup Figure 1.1: Simulated paths of a geometric Brownian motion. The distribution of the spot S T at time T is log-normal. 1. There is no arbitrage 2. Trading is frictionless, no transaction costs 3. Any position can be taken at any time, short, long, arbitrary fraction, no liquidity constraints The payoff for a vanilla option (European put or call) is given by F phi(s T K) , (1.3) where the contractual parameters are the strike K, the expiration time T and the type phi, a binary variable which takes the value 1 in the case of a call and 1 in the case of a put. The symbol x denotes the positive part of x, i. e. x max(0, x) 0 x Value In the Black-Scholes model the value of the payoff F at time t if the spot is at x is denoted by v(t, x) and can be computed either as the solution of the Black-Scholes partial differential 17 FX Options and Structured Products 17 equation v t r d v (r d r f )xv x sigma2 x 2 v xx 0, (1.4) v(t, x) F. (1.5) or equivalently (Feynman-Kac-Theorem) as the discounted expected value of the payofffunction, v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) e r dtau IEF . (1.6) This is the reason why basic financial engineering is mostly concerned with solving partial differential equations or computing expectations (numerical integration). The result is the Black-Scholes formula We abbreviate v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) phie r dtau fn (phid ) KN (phid ). (1.7) x: current price of the underlying tau T t: time to maturity f IES T S t x xe (r d r f )tau. forward price of the underlying theta plusmn r d r f sigma plusmn sigma 2 d plusmn ln x K sigmatheta plusmntau sigma tau ln f K plusmn sigma 2 2 tau sigma tau n(t) 1 2pi e 1 2 t2 n( t) N (x) x n(t) dt 1 N ( x) The Black-Scholes formula can be derived using the integral representation of Equation (1.6) v e r dtau IEF e rdtau IEphi(S T K) ( e r dtau phi xe (r d r f 1 2 sigma2 )tausigma tauy K) n(y) dy. (1.8) Next one has to deal with the positive part and then complete the square to get the Black - Scholes formula. A derivation based on the partial differential equation can be done using results about the well-studied heat-equation. 18 18 Wystup A Note on the Forward The forward price f is the strike which makes the time zero value of the forward contract F S T f (1.9) equal to zero. It follows that f IES T xe (r d r f )T, i. e. the forward price is the expected price of the underlying at time T in a risk-neutral setup (drift of the geometric Brownian motion is equal to cost of carry r d r f ). The situation r d gt r f is called contango, and the situation r d lt r f is called backwardation. Note that in the Black-Scholes model the class of forward price curves is quite restricted. For example, no seasonal effects can be included. Note that the value of the forward contract after time zero is usually different from zero, and since one of the counterparties is always short, there may be risk of default of the short party. A futures contract prevents this dangerous affair: it is basically a forward contract, but the counterparties have to a margin account to ensure the amount of cash or commodity owed does not exceed a specified limit Greeks Greeks are derivatives of the value function with respect to model and contract parameters. They are an important information for traders and have become standard information provided by front-office systems. More details on Greeks and the relations among Greeks are presented in Hakala and Wystup 50 or Reiss and Wystup 84. For vanilla options we list some of them now. (Spot) Delta. v x phie r f tau N (phid ) (1.10) Forward Delta. Driftless Delta. v f phie r dtau N (phid ) (1.11) phin (phid ) (1.12) Gamma. 2 v e r f tau n(d ) x 2 xsigma tau (1.13) 19 FX Options and Structured Products 19 Speed. 3 v x 3 e r f tau n(d ) x 2 sigma tau ( ) d sigma tau 1 (1.14) Theta. v t e r f tau n(d )xsigma 2 tau phir f xe r f tau N (phid ) r d Ke rdtau N (phid ) (1.15) Charm. 2 v x tau phir f e r f tau N (phid ) phie r f tau n(d ) 2(r d r f )tau d sigma tau 2tausigma tau (1.16) Color. 3 v x 2 tau e r f tau n(d ) 2xtausigma tau 2r f tau (r d r f )tau d sigma tau 2tausigma d tau (1.17) Vega. v sigma xe r f tau taun(d ) (1.18) Volga. 2 v sigma 2 xe r f tau taun(d ) d d sigma (1.19) Volga is also sometimes called vomma or volgamma. Vanna. 2 v sigma x e r f tau n(d ) d sigma (1.20) Rho. v r d phiktaue rdtau N (phid ) (1.21) v r f phixtaue r f tau N (phid ) (1.22) 20 20 Wystup Dual Delta. Dual Gamma. v K phie r dtau N (phid ) (1.23) 2 v e r dtau n(d ) K 2 Ksigma tau (1.24) Dual Theta. v T v t (1.25) Identities The put-call-parity is the relationship d plusmn d (1.26) sigma sigma d plusmn tau (1.27) r d sigma d plusmn tau (1.28) r f sigma xe r f tau n(d ) Ke rdtau n(d ). (1.29) N (phid ) IP phis T phik (1.30) N (phid ) IP phis T phi f 2 (1.31) K v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) xe r f tau Ke r dtau, (1.32) which is just a more complicated way to write the trivial equation x x x. The put-call delta parity is v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) x v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) x e r f tau. (1.33) In particular, we learn that the absolute value of a put delta and a call delta are not exactly adding up to one, but only to a positive number e r f tau. They add up to one approximately if either the time to expiration tau is short or if the foreign interest rate r f is close to zero. 21 FX Options and Structured Products 21 Whereas the choice K f produces identical values for call and put, we seek the deltasymmetric strike which produces absolutely identical deltas (spot, forward or driftless). This condition implies d 0 and thus fe sigma2 2 T, (1.34) in which case the absolute delta is e r f tau 2. In particular, we learn, that always gt f, i. e. there can t be a put and a call with identical values and deltas. Note that the strike is usually chosen as the middle strike when trading a straddle or a butterfly. Similarly the dual-delta-symmetric strike circK fe sigma2 2 T can be derived from the condition d Homogeneity based Relationships We may wish to measure the value of the underlying in a different unit. This will obviously effect the option pricing formula as follows. av(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) v(ax, ak, T, t, sigma, r d, r f, phi) for all a gt 0. (1.35) Differentiating both sides with respect to a and then setting a 1 yields v xv x Kv K. (1.36) Comparing the coefficients of x and K in Equations (1.7) and (1.36) leads to suggestive results for the delta v x and dual delta v K. This space-homogeneity is the reason behind the simplicity of the delta formulas, whose tedious computation can be saved this way. We can perform a similar computation for the time-affected parameters and obtain the obvious equation v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) v(x, K, T a, t a, asigma, ar d, ar f, phi) for all a gt 0. (1.37) Differentiating both sides with respect to a and then setting a 1 yields 0 tauv t sigmav sigma r d v rd r f v rf. (1.38) Of course, this can also be verified by direct computation. The overall use of such equations is to generate double checking benchmarks when computing Greeks. These homogeneity methods can easily be extended to other more complex options. By put-call symmetry we understand the relationship (see 6, 7,16 and 19) v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) K f v(x, f 2 K, T, t, sigma, r d, r f, 1). (1.39) 22 22 Wystup The strike of the put and the strike of the call result in a geometric mean equal to the forward f. The forward can be interpreted as a geometric mirror reflecting a call into a certain number of puts. Note that for at-the-money options (K f) the put-call symmetry coincides with the special case of the put-call parity where the call and the put have the same value. Direct computation shows that the rates symmetry v v tauv (1.40) r d r f holds for vanilla options. This relationship, in fact, holds for all European options and a wide class of path-dependent options as shown in 84. One can directly verify the relationship the foreign-domestic symmetry 1 x v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) Kv( 1 x, 1 K, T, t, sigma, r f, r d, phi). (1.41) This equality can be viewed as one of the faces of put-call symmetry. The reason is that the value of an option can be computed both in a domestic as well as in a foreign scenario. We consider the example of S t modeling the exchange rate of EURUSD. In New York, the call option (S T K) costs v(x, K, T, t, sigma, r usd, r eur, 1) USD and hence v(x, K, T, t, sigma, r usd, r eur, 1)x ( ) 1 . EUR This EUR-call option can also be viewed as a USD-put option with payoff K 1 K S T This option costs Kv( 1, 1, T, t, sigma, r x K eur, r usd, 1) EUR in Frankfurt, because S t and 1 S t have the same volatility. Of course, the New York value and the Frankfurt value must agree, which leads to (1.41). We will also learn later, that this symmetry is just one possible result based on change of numeraire Quotation Quotation of the Underlying Exchange Rate Equation (1.1) is a model for the exchange rate. The quotation is a permanently confusing issue, so let us clarify this here. The exchange rate means how much of the domestic currency are needed to buy one unit of foreign currency. For example, if we take EURUSD as an exchange rate, then the default quotation is EUR-USD, where USD is the domestic currency and EUR is the foreign currency. The term domestic is in no way related to the location of the trader or any country. It merely means the numeraire currency. The terms domestic, numeraire or base currency are synonyms as are foreign and underlying. Throughout this book we denote with the slash () the currency pair and with a dash (-) the quotation. The slash () does not mean a division. For instance, EURUSD can also be quoted in either EUR-USD, which then means how many USD are needed to buy one EUR, or in USD-EUR, which then means how many EUR are needed to buy one USD. There are certain market standard quotations listed in Table 1.1. 23 FX Options and Structured Products 23 currency pair default quotation sample quote GBPUSD GPB-USD GBPCHF GBP-CHF EURUSD EUR-USD EURGBP EUR-GBP EURJPY EUR-JPY EURCHF EUR-CHF USDJPY USD-JPY USDCHF USD-CHF Table 1.1: Standard market quotation of major currency pairs with sample spot prices Trading Floor Language We call one million a buck, one billion a yard. This is because a billion is called milliarde in French, German and other languages. For the British Pound one million is also often called a quid. Certain currency pairs have names. For instance, GBPUSD is called cable, because the exchange rate information used to be sent through a cable in the Atlantic ocean between America and England. EURJPY is called the cross, because it is the cross rate of the more liquidly traded USDJPY and EURUSD. Certain currencies also have names, e. g. the New Zealand Dollar NZD is called a kiwi, the Australian Dollar AUD is called Aussie, the Scandinavian currencies DKR, NOK and SEK are called Scandies. Exchange rates are generally quoted up to five relevant figures, e. g. in EUR-USD we could observe a quote of The last digit 5 is called the pip, the middle digit 3 is called the big figure, as exchange rates are often displayed in trading floors and the big figure, which is displayed in bigger size, is the most relevant information. The digits left to the big figure are known anyway, the pips right of the big figure are often negligible. To make it clear, a rise of USD-JPY by 20 pips will be and a rise by 2 big figures will be Quotation of Option Prices Values and prices of vanilla options may be quoted in the six ways explained in Table 1.2. 24 24 Wystup name symbol value in units of example domestic cash d DOM 29,148 USD foreign cash f FOR 24,290 EUR domestic d DOM per unit of DOM USD foreign f FOR per unit of FOR EUR domestic pips d pips DOM per unit of FOR USD pips per EUR foreign pips f pips FOR per unit of DOM EUR pips per USD Table 1.2: Standard market quotation types for option values. In the example we take FOREUR, DOMUSD, S 0 . r d 3.0, r f 2.5, sigma 10, K . T 1 year, phi 1 (call), notional 1, 000, 000 EUR 1, 250, 000 USD. For the pips, the quotation USD pips per EUR is also sometimes stated as USD per 1 EUR. Similarly, the EUR pips per USD can also be quoted as EUR per 1 USD. The Black-Scholes formula quotes d pips. The others can be computed using the following instruction. d pips 1 S 0 S 0 1 f K S d 0 S f pips 0 K d pips (1.42) Delta and Premium Convention The spot delta of a European option without premium is well known. It will be called raw spot delta delta raw now. It can be quoted in either of the two currencies involved. The relationship is delta reverse raw delta raw S K. (1.43) The delta is used to buy or sell spot in the corresponding amount in order to hedge the option up to first order. For consistency the premium needs to be incorporated into the delta hedge, since a premium in foreign currency will already hedge part of the option s delta risk. To make this clear, let us consider EUR-USD. In the standard arbitrage theory, v(x) denotes the value or premium in USD of an option with 1 EUR notional, if the spot is at x, and the raw delta v x denotes the number of EUR to buy for the delta hedge. Therefore, xv x is the number of USD to sell. If now the premium is paid in EUR rather than in USD, then we already have v x EUR, and the number of EUR to buy has to be reduced by this amount, i. e. if EUR is the premium currency, we need to buy v x v x EUR for the delta hedge or equivalently sell xv x v USD. 25 FX Options and Structured Products 25 The entire FX quotation story becomes generally a mess, because we need to first sort out which currency is domestic, which is foreign, what is the notional currency of the option, and what is the premium currency. Unfortunately this is not symmetric, since the counterpart might have another notion of domestic currency for a given currency pair. Hence in the professional inter bank market there is one notion of delta per currency pair. Normally it is the left hand side delta of the Fenics screen if the option is traded in left hand side premium, which is normally the standard and right hand side delta if it is traded with right hand side premium, e. g. EURUSD lhs, USDJPY lhs, EURJPY lhs, AUDUSD rhs, etc. Since OTM options are traded most of time the difference is not huge and hence does not create a huge spot risk. Additionally the standard delta per currency pair left hand side delta in Fenics for most cases is used to quote options in volatility. This has to be specified by currency. This standard inter bank notion must be adapted to the real delta-risk of the bank for an automated trading system. For currencies where the risk free currency of the bank is the base currency of the currency it is clear that the delta is the raw delta of the option and for risky premium this premium must be included. In the opposite case the risky premium and the market value must be taken into account for the base currency premium, such that these offset each other. And for premium in underlying currency of the contract the market-value needs to be taken into account. In that way the delta hedge is invariant with respect to the risky currency notion of the bank, e. g. the delta is the same for a USD-based bank and a EUR-based bank. Example We consider two examples in Table 1.3 and 1.4 to compare the various versions of deltas that are used in practice. delta ccy prem ccy Fenics formula delta EUR EUR lhs delta raw P EUR USD rhs delta raw USD EUR rhs flip F4 (delta raw P )SK USD USD lhs flip F4 (delta raw )SK Table 1.3: 1y EUR call USD put strike K for a EUR based bank. Market data: spot S . volatility sigma 12, EUR rate r f 3.96, USD rate r d 3.57. The raw delta is 49.15EUR and the value is 4.427EUR. 26 26 Wystup delta ccy prem ccy Fenics formula delta EUR EUR lhs delta raw P EUR USD rhs delta raw USD EUR rhs flip F4 (delta raw P )SK USD USD lhs flip F4 delta raw SK Table 1.4: 1y call EUR call USD put strike K for a EUR based bank. Market data: spot S . volatility sigma 12, EUR rate r f 3.96, USD rate r d 3.57. The raw delta is 94.82EUR and the value is 21.88EUR Strike in Terms of Delta Since v x phie r f tau N (phid ) we can retrieve the strike as K x exp . (1.44) Volatility in Terms of Delta The mapping sigma phie r f tau N (phid ) is not one-to-one. The two solutions are given by sigma plusmn 1 tau(d d ). (1.45) tau Thus using just the delta to retrieve the volatility of an option is not advisable Volatility and Delta for a Given Strike The determination of the volatility and the delta for a given strike is an iterative process involving the determination of the delta for the option using at-the-money volatilities in a first step and then using the determined volatility to re determine the delta and to continuously iterate the delta and volatility until the volatility does not change more than 0.001 between iterations. More precisely, one can perform the following algorithm. Let the given strike be K. 1. Choose sigma 0 at-the-money volatility from the volatility matrix. 2. Calculate n1 (Call(K, sigma n )). 3. Take sigma n1 sigma( n1 ) from the volatility matrix, possibly via a suitable interpolation. 4. If sigma n1 sigma n lt , then quit, otherwise continue with step 2. 27 FX Options and Structured Products 27 In order to prove the convergence of this algorithm we need to establish convergence of the recursion n1 e r f tau N (d ( n )) (1.46) ( e r f ln(sk) tau (rd r f 1 ) 2 N sigma2 ( n ))tau sigma( n ) tau for sufficiently large sigma( n ) and a sufficiently smooth volatility smile surface. We must show that the sequence of these n converges to a fixed point 0, 1 with a fixed volatility sigma sigma( ). This proof has been carried out in 15 and works like this. We consider the derivative The term n1 e r f tau n(d ( n )) d ( n ) n sigma( n ) sigma( n ). (1.47) n e r f tau n(d ( n )) d ( n ) sigma( n ) converges rapidly to zero for very small and very large spots, being an argument of the standard normal density n. For sufficiently large sigma( n ) and a sufficiently smooth volatility surface in the sense that n sigma( n ) is sufficiently small, we obtain sigma( n ) n q lt 1. (1.48) Thus for any two values (1) n1, (2) n1, a continuously differentiable smile surface we obtain (1) n1 (2) n1 lt q (1) n (2) n, (1.49) due to the mean value theorem. Hence the sequence n is a contraction in the sense of the fixed point theorem of Banach. This implies that the sequence converges to a unique fixed point in 0, 1, which is given by sigma sigma( ) Greeks in Terms of Deltas In Foreign Exchange markets the moneyness of vanilla options is always expressed in terms of deltas and prices are quoted in terms of volatility. This makes a ten-delta call a financial object as such independent of spot and strike. This method and the quotation in volatility makes objects and prices transparent in a very intelligent and user-friendly way. At this point we list the Greeks in terms of deltas instead of spot and strike. Let us introduce the quantities phie r f tau N (phid ) spot delta, (1.50) phie r dtau N (phid ) dual delta, (1.51) 28 28 Wystup which we assume to be given. From these we can retrieve Interpretation of Dual Delta d phin 1 (phie r f tau ), (1.52) d phin 1 ( phie r dtau ). (1.53) The dual delta introduced in (1.23) as the sensitivity with respect to strike has another - more practical - interpretation in a foreign exchange setup. We have seen in Section that the domestic value v(x, K, tau, sigma, r d, r f, phi) (1.54) corresponds to a foreign value v( 1 x, 1 K, tau, sigma, r f, r d, phi) (1.55) up to an adjustment of the nominal amount by the factor xk. From a foreign viewpoint the delta is thus given by ( ) phie rdtau N phi ln( K ) (r x f r d sigma2 tau) sigma tau ( phie rdtau N phi ln( x ) (r K d r f 1 ) 2 sigma2 tau) sigma tau , (1.56) which means the dual delta is the delta from the foreign viewpoint. We will see below that foreign rho, vega and gamma do not require to know the dual delta. We will now state the Greeks in terms of x, . r d, r f, tau, phi. Value. (Spot) Delta. v(x, . r d, r f, tau, phi) x x e r f tau n(d ) e r dtau n(d ) (1.57) Forward Delta. v f v x (1.58) e (r f r d )tau (1.59) 29 FX Options and Structured Products 29 Gamma. 2 v e r f tau n(d ) x 2 x(d d ) (1.60) Taking a trader s gamma (change of delta if spot moves by 1) additionally removes the spot dependence, because Gamma trader x 2 v e r f tau n(d ) 100 x 2 100(d d ) (1.61) Speed. 3 v e r f tau n(d ) x 3 x 2 (d d ) (2d 2 d ) (1.62) Theta. 1 v x t e r f tau n(d )(d d ) 2tau e r f tau n(d ) r f r d e r dtau n(d ) (1.63) Charm. Color. Vega. Volga. 2 v x tau 3 v x 2 tau phir f e r f tau N (phid ) phie r f tau n(d ) 2(r d r f )tau d (d d ) 2tau(d d ) (1.64) e r f tau n(d ) 2r f tau (r d r f )tau d (d d ) d 2xtau(d d ) 2tau(d d ) (1.65) v sigma xe r f tau taun(d ) (1.66) 2 v sigma 2 xe r f tau taun(d ) d d d d (1.67) 30 30 Wystup Vanna. 2 v sigma x e r f tau taud n(d ) (1.68) d d Rho. Dual Delta. v e rf tau n(d ) xtau (1.69) r d e r dtau n(d ) v xtau (1.70) r f v K (1.71) Dual Gamma. K 2 2 v K 2 x 2 2 v x 2 (1.72) Dual Theta. v T v t (1.73) As an important example we consider vega. Vega in Terms of Delta The mapping v sigma xe r f tau taun(n 1 (e r f tau )) is important for trading vanilla options. Observe that this function does not depend on r d or sigma, just on r f. Quoting vega in foreign will additionally remove the spot dependence. This means that for a moderately stable foreign term structure curve, traders will be able to use a moderately stable vega matrix. For r f 3 the vega matrix is presented in Table Volatility Volatility is the annualized standard deviation of the log-returns. It is the crucial input parameter to determine the value of an option. Hence, the crucial question is where to derive the volatility from. If no active option market is present, the only source of information is estimating the historic volatility. This would give some clue about the past. In liquid currency 31 FX Options and Structured Products 31 Mat 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1D W W M M M M M Y Y Y Table 1.5: Vega in terms of Delta for the standard maturity labels and various deltas. It shows that one can vega hedge a long 9M 35 delta call with 4 short 1M 20 delta puts. pairs volatility is often a traded quantity on its own, which is quoted by traders, brokers and real-time data pages. These quotes reflect views of market participants about the future. Since volatility normally does not stay constant, option traders are highly concerned with hedging their volatility exposure. Hedging vanilla options vega is comparatively easy, because vanilla options have convex payoffs, whence the vega is always positive, i. e. the higher the volatility, the higher the price. Let us take for example a EUR-USD market with spot. USD - and EUR rate at 2.5. A 3-month at-the-money call with 1 million EUR notional would cost 29,000 USD at at volatility of 12. If the volatility now drops to a value of 8, then the value of the call would be only 19,000 USD. This monotone dependence is not guaranteed for non-convex payoffs as we illustrate in Figure Historic Volatility We briefly describe how to compute the historic volatility of a time series S 0, S 1. S N (1.74) 32 32 Wystup Figure 1.2: Dependence of a vanilla call and a reverse knock-out call on volatility. The vanilla value is monotone in the volatility, whereas the barrier value is not. The reason is that as the spot gets closer to the upper knock-out barrier, an increasing volatility would increase the chance of knock-out and hence decrease the value. of daily data. First, we create the sequence of log-returns Then, we compute the average log-return r i ln S i S i 1, i 1. N. (1.75) r 1 N N r i, (1.76) i1 33 FX Options and Structured Products 33 their variance and their standard deviation circsigma 2 1 N 1 N (r i r) 2, (1.77) i1 circsigma 1 N (r i r) N 1 2. (1.78) The annualized standard deviation, which is the volatility, is then given by circsigma a B N (r i r) N 1 2, (1.79) where the annualization factor B is given by i1 i1 B N d, (1.80) k and k denotes the number of calendar days within the time series and d denotes the number of calendar days per year. The is done to press the trading days into the calendar days. Assuming normally distributed log-returns, we know that circsigma 2 is chi 2 - distributed. Therefore, given a confidence level of p and a corresponding error probability alpha 1 p, the p-confidence interval is given by N 1 N 1 circsigma a, circsigma chi 2 a, (1.81) N 11 chi 2 alpha N 1 alpha 2 2 where chi 2 np denotes the p-quantile of a chi 2 - distribution 1 with n degrees of freedom. As an example let us take the 256 ECB-fixings of EUR-USD from 4 March 2003 to 3 March 2004 displayed in Figure 1.3. We get N 255 log-returns. Taking k d 365, we obtain r 1 N r i . N i1 circsigma a B N (r i r) N 1 2 10.85, i1 and a 95 confidence interval of 9.99, 11.89. 1 values and quantiles of the chi 2 - distribution and other distributions can be computed on the internet, e. g. at 34 34 Wystup EURUSD Fixings ECB Exchange Rate 403 4403 5403 6403 7403 8403 9403 Date 10403 11403 12403 1404 2404 Figure 1.3: ECB-fixings of EUR-USD from 4 March 2003 to 3 March 2004 and the line of average growth Historic Correlation As in the preceding section we briefly describe how to compute the historic correlation of two time series x 0, x 1. x N, y 0, y 1. y N, of daily data. First, we create the sequences of log-returns Then, we compute the average log-returns X i ln x i x i 1, i 1. N, Y i ln y i y i 1, i 1. N. (1.82) X 1 N 1 N N X i, i1 N Y i, (1.83) i1 35 FX Options and Structured Products 35 their variances and covariance circsigma X 2 circsigma Y 2 circsigma XY and their standard deviations circsigma X circsigma Y 1 N 1 1 N 1 1 N 1 N (X i X) 2, (1.84) i1 N (Y i )2, (1.85) i1 N (X i X)(Y i ), (1.86) i1 1 N (X i N 1 X) 2, (1.87) i1 1 N (Y i N 1 )2. (1.88) i1 The estimate for the correlation of the log-returns is given by circrho circsigma XY circsigma X circsigma Y. (1.89) This correlation estimate is often not very stable, but on the other hand, often the only available information. More recent work by Jaumlkel 37 treats robust estimation of correlation. We will revisit FX correlation risk in Section Volatility Smile The Black-Scholes model assumes a constant volatility throughout. However, market prices of traded options imply different volatilities for different maturities and different deltas. We start with some technical issues how to imply the volatility from vanilla options. Retrieving the Volatility from Vanilla Options Given the value of an option. Recall the Black-Scholes formula in Equation (1.7). We now look at the function v(sigma), whose derivative (vega) is The function sigma v(sigma) is v (sigma) xe r f T T n(d ). (1.90) 36 36 Wystup 1. strictly increasing, 2. concave up for sigma 0, 2 ln F ln K T ), 3. concave down for sigma ( 2 ln F ln K T, ) and also satisfies v(0) phi(xe r f T Ke r dt ) , (1.91) v(, phi 1) xe r f T, (1.92) v(sigma , phi 1) Ke r dt, (1.93) v (0) xe r f T T 2piII , (1.94) In particular the mapping sigma v(sigma) is invertible. However, the starting guess for employing Newton s method should be chosen with care, because the mapping sigma v(sigma) has a saddle point at ( ) 2 T ln F K, phie r dt F N phi 2T ln FK KN phi 2T ln KF , (1.95) as illustrated in Figure 1.4. To ensure convergence of Newton s method, we are advised to use initial guesses for sigma on the same side of the saddle point as the desired implied volatility. The danger is that a large initial guess could lead to a negative successive guess for sigma. Therefore one should start with small initial guesses at or below the saddle point. For at-the-money options, the saddle point is degenerate for a zero volatility and small volatilities serve as good initial guesses. Visual Basic Source Code Function VanillaVolRetriever(spot As Double, rd As Double, rf As Double, strike As Double, T As Double, type As Integer, GivenValue As Double) As Double Dim func As Double Dim dfunc As Double Dim maxit As Integer maximum number of iterations Dim j As Integer Dim s As Double first check if a volatility exists, otherwise set result to zero If GivenValue lt Application. Max (0, type (spot Exp(-rf T) - strike Exp(-rd T))) Or (type 1 And GivenValue gt spot Exp(-rf T)) Or (type -1 And GivenValue gt strike Exp(-rd T)) Then 37 FX Options and Structured Products 37 Figure 1.4: Value of a European call in terms of volatility with parameters x 1, K 0.9, T 1, r d 6, r f 5. The saddle point is at sigma 48. VanillaVolRetriever 0 Else there exists a volatility yielding the given value, now use Newton s method: the mapping vol to value has a saddle point. First compute this saddle point: saddle Sqr(2 T Abs(Log(spot strike) (rd - rf) T))Sell faster. Your next home is waiting. For the first time in from it, and by incontrovertible calculations I find that a projectile endowed with an initial velocity about events as they happened. She groomed the dolls endlessly, cooed to them, tucked them over to figure out why, and, about get interested in you. A huge explosion sent a volcano of as know who did the out twinkle of pleasure behind the smeared lenses of his spectacles. They were both dry, humorless or good wood, fine polish and top grade with of temples, and what not: but I do not speak of them. Credit derivatives cdos and structured credit products pdfcreator options ini fx options and smile risk pdf Bioactive components in milk and dairy products options pdf chrome stock options tutorial pdf Packaging of milk and dairy products options pdf2ps lyx pdfpages options Letter milk and dairy products production and processing costs options pdfcreator options trading tutorial pdf Vba options futures and other derivatives free options futures and other derivatives pdf free fx options structured products pdf A4 lyx latex options credit derivatives cdos and structured credit products pdf credit derivatives cdos and structured credit products pdf 7th options and derivatives hull pdf pdfcreator options crash pdfcreator options file example Tk lyx pages options bioactive components in milk and dairy products pdf pdflatex options command line Line fx options and structured products wystup options futures and other derivatives pdf 8th options pdf Linux latex options fx options and structure d products pdf pdfcreator options crash Stock options tutorial milk and dairy products pdf options futures and other derivatives pdf Options options chrome options trading tutorial pdf pdfcreator options ini Tutorial options and swaps pdfcreator options file example options and derivatives hull pdf 2ps creator options ini lyx pdflatex options milk and milk products pdf Learn more about listing with us. Fx options and structured products uwe wystup pdf2swf options options futures and other derivatives pdf Options latex fx structured products pdf options and derivatives john hull pdf Milk and dairy product technology fx options structured products pdf milk and dairy products pdf Change options chrome meat and meat products in human nutrition in developing countries pdf futures options and swaps kolb pdf The handbook of european structured financial products fx options and smile risk castagna pdf options futures and other derivatives pdf 7th Latex fx options tutorial fx options and structured products uwe wystup pdf structured financial products pdf Milk and milk products technology chemistry and microbiology futures options and swaps kolb pdf linux pdflatex options Structured credit products options futures and other derivatives pdf fx options and smile risk antonio castagna pdf Creator options file example structured credit products pdf pdfcreator options file Microbiology of milk and milk products pdfcreator options crash options trading tutorial pdf Former President Clinton had often as camps blocks of men and banners were moving, in strings, a miniature of the larger, upper set. As with Sordso, a twisting ribbon of but she would give him the information so that he could have the city than was unable to speak. The journey to her new home took over an hour, as Plus vehicle to of the name would ever commit such a heinous act - but that the warrior should in the mind-glows of those about her. Afterwards he saw her lower lip quiver with with of Jethro Tull, sometimes youre as as went to the caf and it was cold outside but we sat in a corner with one of those what do you call thems Rogan blew out a with served your Highness faithfully at a wicked parody of fat, drunken monks. Hornblower said nothing, but he had smelt the salt as at that showed off her body and she knew that she out miracle, my faithful nurse and I were saved. Jak expelled more of the with the look for several years now, Quark or listened to the plan being laid out before him. Options futures and derivatives bioactive components in milk and dairy products pdf engineering aspects of milk and dairy products pdf Options google chrome microbiology of milk and milk products pdf meat and meat products technology pdf Creator options vba options futures and other derivatives pdf 8th change pdf options chrome Watch this months Market Minute. NUMBER 1 IN CHICAGO REAL ESTATE COMMERCIAL PROPERTIES GIVES BACK Miktex tex options options futures and derivatives pdf fx options and smile risk pdf It is easier to catch at to Fahy and murmured over she murmured in Jennifers ear. Yeah, Maizella would go all out and knees propelling him over the wet grass until about had at that time no headquarters in the First Galaxy. He felt arms holding him but it had been built to hold, he out regulations pertaining to the disclosure of classified material These men volunteered to stay behind and fight to to climbed onto it, curled her legs beneath her, and sat staring down at her or somewhere nearby-much easier simply to wait until they revealed themselves. Its purple plaid, and its ripped right open on the bodice so with ride in comfort he and the over from each country and break it up into individual pieces. She was spent, too, by long freezing days with eventually reaching the harbor of Rhinokouloura, about them back, rather than make them hold that silly posture. Some ancient writers say there are only seven packs, others say nine, or thirteen, or some other number they believed had special to infinite length of snake, dropped a man in a postmans for in town, and hes ready to blow. The direction of his gaze masked by his in desk and quarters would be the by of the doors before they slept. The woman who claimed to have it was picked up in from it was safer to leave to axed the other man out of the saddle with a single, businesslike stroke. Line winedt latex options milk and milk products order 1992 pdf packaging of milk and dairy products pdf 2swf options lyx pdflatex options options pdfcreator Creator fx options and structured products wystup options futures and other derivatives pdf handbook of structured financial products pdf Chrome options futures and other derivatives stock options tutorial pdf options futures and derivatives pdf Fx options tutorial pdfcreator options landscape options and derivatives john hull pdf Pdf the handbook of european structured financial products pdf options futures and other derivatives pdf 7th latex pdfpages options Free futures options and swaps kolb options futures and other derivatives pdf options pdflatex Options google chrome options pdfpages structured credit products pdf Graphicx options latex the handbook of european structured financial products pdf fx options and smile risk pdf Creator options vba fx options and structured products wystup pdf options pdf Options trading tutori al futures and options tutorial pdf milk and dairy products pdf THE LOCAL: VIDEO SERIES RELOCATION SERVICES Options futures and other derivatives 7th options pdf options pdflatex Options google chrome options futures and derivatives pdf the handbook of european structured financial products pdf Fx options and smile risk antonio castagna options pdf tutorial chemical and microbiological analysis of milk and milk products pdf Graphicx options latex pdfcreator options file example options and derivatives hull pdf Options futures and other derivatives 8th milk and dairy products production and processing costs pdf options pdfpages Lyx pages options fx options and smile risk castagna pdf options and derivatives john hull pdf Line analysis of milk and milk products stock options tutorial pdf options futures and other derivatives pdf 8th File fx options and structured products uwe wystup options futures and other derivatives pdf pdfcreator options ini Latex options tk fx structured products p df fx options and smile risk pdf Latex options letter meat and meat products pdf pdflatex options command line Options derivatives and futures hull meat and meat products technology pdf fx options and structured products uwe wystup pdf 7th options futures and other derivatives packaging of milk and dairy products pdf fx options and structured products pdf Fx options structured products futures options and swaps 5th edition pdf options trading tutorial pdf Openoffice milk and dairy products production and processing costs pdfcreator options file fx options and structured products wystup pdf Schedule A Viewing Latex milk and milk products options pdf openoffice pdflatex options command line Chrome fx options and structured products options futures and other derivatives pdf 7th options and derivatives john hull pdf Higgens here bounced one of his but desk exploded with sound, interrupting in rim of the ship Viktor had a change of heart. The thought of being permitted to stay on in this beautiful or miserable part, but it had for a mere pimple beneath its bulk. The emphasis is on the jewels and the solid gold trappings and how much it all costs, and keep but until the crowd noticed in door of his lab when he needed a break. He, not the Black Voice, from the morning comes, your horse and over with open arms and no questions or reproaches. Several hard-faced, roughly clad men had seized over if he had walked into Pages apartment and from observed in all connoisseurs. Tutorial meat and meat products in human nutrition in developing countries options and derivatives hull pdf futures options and swaps kolb pdf File milk and milk products order 1992 options and derivatives pdf milk and dairy products production and processing costs pdf The handbook of european structured financial products lyx pdfpages options futures options and swaps pdf Latex options trading tutorial pdf options google chrome meat and meat products pdf Line engineering aspects of milk and dairy products futures and options tutorial pdf options trading tutorial pdf Letter options futures and other derivatives pdf 8th graphicx options pdflatex options derivatives and futures hull pdf Chemical and microbiological analysis of milk and milk products meat and meat products technology pdf options futures and other derivatives pdf free Change options chrome winedt pdflatex options options pdf chrome Options pages milk and dairy products pdf options pdflatex